任意角的三角函数本周重点：1、角的概念的扩充；2、弧度制的引入；3、任意角的三角函数本周难点：1、弧度制的引入；2、三角函数线本周内容：一、角的概念的扩充1．角的定义：平面内一条射线OA绕端点从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成的图形为角α,OA称为α的始边,OB称为终边。2．角的正负规定：逆时针方向旋转形成的角为正角。顺时针方向旋转形成的角为负角；射线没有旋转形成零角。3．角的分类：我们把角的顶点放在直角坐标系的原点，把角的始边放在x轴的非负方向上，则通过角的终边的位置把角分成象限角与轴上角两类。即角的终边在象限内称为象限角，角的终边在坐标轴上称为轴上角。4．与角α终边相同的角的集合：S={β|β=k·360+α,k∈Z}。注意：α可以是任意角。5．两个约定0到90的角是指：0≤α<900～90范围的角是指：0≤α≤90。用心爱心专心1二、弧度制的引入对于一个新的制度，首先需要规定单位，在弧度制中首先要规定1个弧度。1弧度角：圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角规定为1弧度。定义：角α的弧度数的绝对值。|α|=。其中角α所对弧长为l，r是圆的半径。角度制与弧度制的互化当l=2πr（即圆的周长）时，圆心角的弧度数是2π,角度数为360，则有：2π弧度=360π弧度=1801弧度≈57.3=5718′注：角的弧度数的单位“弧度”两字可以省略，但角度数中的“”不能省略。三、任意角三角函数1．三角函数的定义：设：角α终边上任一点P(x,y)，|OP|=r则：sina=,cosa=,tana=cota=,seca=,csca=由定义可知余割、正割、余切是正弦、余弦、正切的倒数，因此今后我们研究问题时，只研究正弦、余弦、正切即可。不同象限中三角函数的符号：用心爱心专心22．三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，即数形结合中的形。由于定义三角函数时点P是角α终边上任意一点，因此我们可以取距离原点O为1的点作为P点，而所有距离0为1的构成以原点为圆心，1（单位）为半径的圆，称为单位圆，在单位圆中我们来研究三角函数的几何表示。设：角α的终边与单位圆交于点P，即|OP|=r=1.过P作PM⊥x轴于M点，则sinα==MP,cosα==OM.由于正弦，余弦的定义是点P的纵、横坐标与r的比，因此MP，OM没有加绝对值，即其中带有正负，显然与初中平面几何的含义不同，这里首先要介绍几个概念：有向线段：规定了起点和终点的线段，即等等；有向线段的数量：MP，OM，当与正方向一致时，MP为正；当与正方向相反时，MP为负。有线向段的长度：||，||.显然sinα=MP中MP是有向线段的数量。而有向线段称为角α的正弦线，有向线段称为角α的余弦线。如何寻找正切线呢？取A(1,0)，过A作AT⊥x轴，交角α的终边于T，此时tanα=AT.则有向线段为角α的正切线。对于余切线，正割线，余割线在这里我们就不作为要求了。四、例题选讲例1．在-180到180中找出与下列角终边相同的角。用心爱心专心3(1)-234(2)1245(3)56033'(4)-224.31解：(1)满足条件的角：-234+360=126.(2)满足条件的角：1245-1080=165.(3)满足条件的角：56033′-720=-15927′.(4)满足条件的角：-224.31+360=135.69.例2．用弧度制表示下列角的集合。(1)x轴上的角；(2)第四象限角；(3)与的终边关于x轴对称的角；(4)终边在直线y=x上。解：(1){α|α=kπ,k∈Z}(2){α|2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z}={α|2kπ-<α<2kπ,k∈Z}(3){α|α=2kπ-,k∈Z}(4){α|α=kπ+,k∈Z}例3．已知：α是第三象限角，求(1)2α(2)(3)终边所在的位置。用心爱心专心4解： α是第三象限角，∴2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z)则(1)4kπ+2π<2α<4kπ+3π(k∈Z)即2α的终边在一，二象限及y轴非负半轴上；(2)kπ+<0.(2) -π=-4π+π,即-π是第一象限角，∴tan(-π)>0.(3) -22是第四象限角，∴sec(-22)>0.(4) -5.2+2π≈1.08,即-5.2是第一象限角，∴cos(-5.2)>0.例5．满足下列条件的角的集合。用心爱心专心5(1)sinα·cosα>0(2)<0(3)|sinα|=-sinα解：(1) sinα·cosα>0,∴...
