高考专题训练(二十八)数列(解答题)1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝a1－9，a5，a3，a4成等差数列．X|k|B|1.c|O|m(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．解(1)设公比为q，在等比数列{an}中，a5，a3，a4成等差数列，∴2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，整理得：q2＋q－2＝0.解得q＝1，或q＝－2.又a4＝a1－9，即a1q3＝a1－9，当q＝1时，无解．当q＝－2时，解得a1＝1，∴等比数列{an}通项公式为an＝(－2)n－1(n∈N*)．(2)证明：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，∴Sk＝＝，Sk＋1＝，Sk＋2＝，∵Sk＋1＋Sk＋2＝＋＝＝＝＝2·＝2Sk，∴Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列．2．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解(1)设数列{an}的公差为d，由已知得a3＝a1＋2d＝7，又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列，xkb1∴82＝(8－2d)(8＋4d)，解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.(2)由(1)得Sn＝n(n＋2)，＝＝，∴Tn＝＋－＋－＋…＋－＋－＝＝，故存在常数m＝，使Tn＝m.3．(2014·温州十校联考)已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)若{bn}是首项为4，公比为的等比数列，前n项和为Tn，求证：当t>6时，对任意n，m∈N*，Sn6时，对任意n、m∈N*，Tm＋t>T1＋6>10≥Sn，∴当t>6时，Snkn＋1有解，试求q的值．解(1)设等差数列的公差为d，[来源:学|科|网Z|X|X|K]则S6＝6a1＋×6×5d＝22，解得d＝，∴Sn＝.(2)①∵数列{an}是正项递增等差数列，∴数列{akn}的公比q>1，若k2＝2，则由a2＝，得q＝＝，[来源:学+科+网Z+X+X+K]此时ak3＝2×2＝，由＝(n＋2)，解得n＝∉N*，∴k2>2，同理k2>3；若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时akn＝2×2n－1，另一方面，akn＝(kn＋2)，∴(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2，∴对任何正整数n，akn是数列{an}的第3×2n－1－2项．∴最小的公比q＝2.∴kn＝3×2n－1－2.②由akn＝＝2qn－1，得kn＝3qn－1－2，而q>1，所以当q>1且q∈N时，所有的kn＝3qn－1－2均为正整数，符合题意；当q>1且q∉N时，kn＝3qn－1－2∈N不全是正整数，不合题意．而6Sn>kn＋1有解，∴>1有解，经检验，当q＝2，q＝3，q＝4时，n＝1都是>1的解，符合题意；下面证当q≥5时，>1无解，设bn＝，则bn＋1－bn＝，∵<0，∴f(n)＝2[(1－q)n2＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N*上单调递减．∵f(1)<0，∴f(n)<0恒成立，∴bn＋1－bn<0，∴bn≤b1恒成立，又当q≥5时，b1<1，∴当q≥5时，6Sn>kn＋1无解．综上所述，q的值为2,3,4.系列资料www.xkb1.com
