数学思想方法专题一分类讨论（教师版）班级姓名一、思想方法概述：1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.二、例题精讲：题型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1（1）在∆ABC中，A、B、C为内角，且,则∆ABC是等腰或直角三角形．（2）已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为8，则直线l的方程为_______．解：圆的方程可化为：x2＋(y＋2)2＝25，(1)若直线l垂直于x轴，则其方程为x＝－3，可求得弦长为8，(2)若直线l的斜率存在时，设l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0，圆心(0，－2)到直线l的距离d＝，由已知条件d2＝25－16＝9，即(3k－1)2＝9(k2＋1)，整理得9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－.因此所求直线的方程为x＋3＝0或4x＋3y＋21＝0.（3）已知双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为．或解：若焦点在x轴上,则;若焦点在y轴上,则.（4）若不等式对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是3a„<2．解：当n为奇数时，不等式可化为113311aann<>，要使不等式对任意自然数n恒成立，则；当n为偶数时，不等式可化为131an<，要使不等式对任意自然数n恒成立，则(3amin11)32101n，即2a.综上，．（5）对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝；当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，＝6⇒a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．(2)当a，b为一奇一偶时，＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上所述，集合A中的元素共有17个．答案：17（6）若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．解：讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0
