数学归纳法的应用从化中学李希胜一、数学归纳法的科学性证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n取第一个值时命题成立（2）假设当n=k(k≥,k∈)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立探索：能否用反证法证明数学归纳法是合理的推理方法证明：假设数学归纳法不合理，则存在某种反例。即有某种性质，它满足两个条件：①成立，②假设成立，则可推出成立。但存在自然数n使不成立。设使不成立的所有自然数构成集合M，则M是自然数集N的一个非空子集，M中必有最小数m，即不成立，显然由于m是使不成立的最小数，故成立，记，则，从而有成立，而不成立，这样与条件“假设成立，则可推出成立”相矛盾，所以数学归纳法是合理的推理方法。二、数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于证明与正整数有关的数学命题1．在不等式证明中的应用例1．用数学归纳法证明分析：当n=1时，不等式显然成立，假设当n=k时不等式成立，即成立，则，并未证到要证只要证即这正是归纳假设证明：（1）当n=1时，1<2显然成立（2）假设当n=k+1时成立即，则即n=k+1时也成立由（1）（2）知，原不等式成立方法2：2．在实际问题中的应用例2．若有2n+1个飞机场，每个机场都有一架飞机，各个机场之间的距离互不相等，现在让所有的飞机一齐起飞，飞向最近的机场降落，求证：必定存在一个机场，没有飞机降落。证明：（1）当n=1时，2n+1=3,设三个机场分别为A、B、C，不妨设，,则B、C之间飞机对飞，不论A机飞向B，还是飞向C，都使A机场没有飞机落。（2）假设当n=k时命题成立，即对（2k+1）个飞机场命题成立，则当n=k+1时，，由于机杨之间的距离两两不等，故存在两个机场之间的距离是最近的，这两处的飞机对飞，现撤出这两个机场，则由归纳假设知，剩下的2k+1个机场中，存在一个机场P，没有飞机降落，再把撤出的机场放回，则P机场仍无飞机降落，可得n=k+1时命题成立。由（1）、（2）可知，原命题成立。3．在几何问题中的应用例3．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，设n个圆的交点个数为，证明证明：（1）当n=2时,,,从而成立（2）假设当n=k时命题成立，即则当n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆相交共形成2k个交点，故即n=k+1时命题也成立由（1）（2）知，原命题成立4．在整除问题中的应用思考题1：用数学归纳法证明能被13整除。证明：（1）当n=1时，，能被13整除ABC(2)假设当n=k时命题成立，即能被13整除则当n=k+1时，===,也能被13整除，由（1），（2）知，原命题成立。5．在数列问题中的应用思考题2：设数列{an}的各项为正数，a1=1,Sn为该数列的前n项和，并且对所有自然数n，an+1是（Sn+1+Sn）与1的等比中项，求的表达式。解：依题意有，可化简如下：,,这是一个关于Sn+1的一元二次方程，在方程中取n=1解得，取n=2解得，取n=3解得因为，……猜想。这个猜想是对的，可用数学归纳法证明。
