高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（二）1．(2010·天津卷)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．解析： ∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.答案：2．(2010·湖南卷)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．解析：由切割线定理知PT2＝PA·PB，∴PB＝＝8.∴弦AB的长为PB－PA＝8－2＝6.答案：63．如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，＝，则AB＝________.解析：由CD＝DA＝2，∴DP＝4.在Rt△ADP中，AP＝＝2.由切割线定理：PC2＝PA·PB，∴62＝2(2＋AB)，∴AB＝4.答案：44．(2010·陕西卷)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.解析： ∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线．∴BC2＝BD·BA，即16＝BD·5，解得BD＝.∴DA＝BA－BD＝5－＝.∴＝.答案：5．(2010·广东东莞)如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.解析：连结OA、OB，∠PAO＝∠PBO＝90°， ∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P、A、O、B四点共圆，故∠APB＝60°.答案：60°6．(2010·广东佛山)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：由切割线定理知，PC2＝PA·PB，解得PC＝2.又OC⊥PC，故CD＝＝＝.答案：7．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝2cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm.解析：由切割线定理知|CA|2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝2，所以|CM|＝2，|CD|＝6，所以|AD|＝＝2.答案：28．(2010·广东卷)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝______.解析： AP＝PB，∴OP⊥AB.又 ∠OAP＝30°，∴AP＝a.由相交弦定理得CP·PD＝AP2，∴CP＝＝a2×＝a.答案：a9．(2010·北京卷)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______.解析：由圆的割线定理知：AB·AC＝AD·AE，∴AE＝8，∴DE＝5.连接EB， ∠EDB＝90°，∴EB为直径．∴∠ECB＝90°.由勾股定理，得EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.在Rt△ECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，∴CE2＝28，∴CE＝2.答案：5210．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.解析：因为PB＝PA＋AB＝8，所以在⊙O中，由切割线定理得：PC2＝PA·PB＝2×8＝16，故PC＝4；连结OC，则OC⊥CP，在Rt△OCP中，由射影定理得：PC2＝PE·PO，则PE＝＝.故OE＝PO－PE＝.答案：411．如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明： PA与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC. M为PA的中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴＝. ∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.12．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．解析：由切割线定理得AD2＝AE·AB，所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.又 ∠OCD＝∠ADE＝90°－∠CDB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACO，∴＝，即＝，CD＝3.答：CD的长等于3.13．(2010·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.证明：如图所示，连接OD，BD，因为CD为⊙O的切线，AB为直径，所以∠ADB＝∠ODC＝90°.所以∠ODA＝∠BDC.又因为DA＝DC，所以∠DAB＝∠DCB.所以△ADO≌△CDB.所以OA＝BC，从而AB＝2BC.14．已知弦AB与⊙O半径相等，连接OB并延长使BC＝OB.(1)问AC与⊙O的位置关系是怎样的；(2)试在⊙O上找一点D，使AD＝AC.解析：(1) AB与⊙O半径相等，∴△OAB为正三角形，∠OAB＝60°＝∠OBA，又 BC＝OB＝AB，∴∠C＝∠BAC＝30°，故∠...
