1定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，⋯，n)，作和式1nif(ξi)Δx＝1nib－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limn1nib－anf(ξi).在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)abf(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数).(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx.(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b).3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)2－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba)＝F(b)－F(a).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)0π(cosx＋1)dx＝________.(2)－22|x2－2x|dx＝________.(3)01(2x＋1－x2)dx＝________.[答案](1)π(2)8(3)1＋π4[解析](1)0π(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)π0＝π.(2)－22|x2－2x|dx＝－20(x2－2x)dx＋02(2x－x2)dx＝13x3－x20－2＋x2－13x320＝83＋4＋4－83＝8.(3)011－x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴011－x2dx＝π4.又 012xdx＝x210＝1，∴01(2x＋1－x2)dx＝012xdx＋011－x2dx＝1＋π4.【类题通法】1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；3(3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算.2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.【对点训练】1．定积分－11(x2＋sinx)dx＝________.[答案]23[解析]－11(x2＋sinx)dx＝－11x2dx＋－11sinxdx＝201x2dx＝2·x33|10＝23.2．－11e|x|dx的值为()A．2B．2eC．2e－2D．2e＋2[答案]C[解析]－11e|x|dx＝－10e－xdx＋01exdx＝－e－x0-1＋ex10＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.3．定积分039－x2dx的值为________.[答案]9π4[解析]由定积分的几何意义知，039－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故039－x2dx＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________.(2)由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.[答案](1)23－2π3(2)18(3)24[解析](1)令2sinx＝1，得sinx＝12，当x∈[0，π]时，得x＝π6或x＝5π6，所以所求面积S＝(2sinx－1)dx＝(－2cosx－x)＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组y2＝2x，y＝x－4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝2022xdx＋28(2x－x＋4)dx＝18.法二选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝－24y＋4－12y2dy＝18.(3)由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3k0＝k32－13k3＝43，则k3＝8，∴k＝2.【类题通法】1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限...
