梯形一道经典问题的证明1、已知AD//BC,角ADC和角BCD的平分线交于点M,求证:CD=AD+BC这是一道很典型的初中几何问题，有必要详细解答一下证明：方法一：在DC上截取DE＝DA，连接EM因为DM平分∠ADC所以∠ADM＝∠EDM＝∠ADC/2又因为DM＝DM所以△ADM≌△EDM（SAS）所以∠AMD＝∠EMD，ED＝AD因为CM平分∠BCD所以∠DCM＝∠BCM＝∠BCD/2因为AD//BC所以∠ADC＋∠BCD＝180°所以∠DCM＋∠MDC＝90°所以∠CMD＝90所以∠EMD＋∠EMC＝90°，∠AMD＋BMC＝90°所以∠EMC＝∠BMC又因为CM＝CM所以△CBM≌△CEM（ASA）所以EC＝BC所以CD＝EC＋ED即CD＝AD＋BC方法二：延长DM与CB的延长线交于F因为AD//BC所以∠ADF＝∠F因为DM平分∠BCD所以∠ADF＝∠CDF所以∠CDF＝∠F所以CD＝CF因为CM平分∠BCD所以根据“三线合一”性质得DM＝FM（实际上还能得到CM⊥DF，这也是方法一中证明的一个结论，但证法不同）因为∠AMD＝∠BMF所以△ADM≌△BFM（AAS）所以AD＝BF所以CD＝CF＝BC＋BF＝AD＋BC方法三：取CD的中N，连接MN证明M是中点后，MN就是中位线，（证明见：所以2MN＝AD＋BC，而△AMB是直角三角形（CM⊥DM上面已经证明）则MN是斜边CD上的中线，所以2MN＝CD所以CD＝AD＋BC2、一个相关问题：四边形ABCD中，AD//BC,AB=BC+AD,AE平分∠BAD交CD于点E求证：BE垂直AE证明：延长AE、BC交于F因为AD//BC所以∠DAF＝∠F，∠D＝∠ECF因为AE平分∠BAD所以∠BAF＝∠DAF所以∠BAF＝∠F所以AB＝BF＝BC＋CF因为AB＝BC＋AD所以AD＝CF所以△ADE≌△FCE（ASA）所以AE＝EF所以BE是等腰三角形底边AF上的中线所以根据“三线合一”性质得BE是等腰三角形底边AF上的高所以BE⊥AE3、下面是一个与此题有关的很好的变式问题：如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的角BPC=90度的点P的个数为（）。A、0B、1C、2D、不小于3的整数解：取AD的中点M，连接BM并延长交CD的延长线于N，连接CM因为AB//CD所以易证△ABM≌△NDM所以AB=DN，MB＝MN因为四边形ABCD是等腰梯形所以BC＝AD＝1999因为AB=998，CD=1001，所以CN＝CD＋DN＝CD＋AB＝1999所以BC＝CN所以△BCN是等腰三角形所以CM是底边BN上的中点所以根据“三线合一”性质得CM⊥BN所以AD的中点M即为所求的P点之一设BC的中点为O，以O为圆心，OM为半径作圆O，过O作OE⊥AD则OM为梯形ABCD的中位线所以OM//AB//CD因为AB与AD不垂直所以OE与OM不重合所以OE＜OM所以AD与圆O的位置关系是“相交”所以圆O与AD有两个交点P1、P2（其中一个就是M）而根据“直径所对的圆周角是直角”知：∠BP1C＝∠BP2C＝90度即满足条件的点P的个数为2所以本题应该选择“C”4、AD‖BCAB⊥BCDE平分∠ADCE是AB的中点AD,BC,CD有什么数量关系证明~解：AD，BC，CD的是关系是：AD＋BC＝CD证明：延长DE、CB交于F因为AD//BC所以∠ADE＝∠F，∠A＝∠EBF又因为AE＝BE所以△ADE≌△BEF所以AD＝BF因为∠ADE＝∠CDE所以∠F＝∠CDE所以CD＝CF因为CF＝BC＋BF＝BC＋AD所以AD＋BC＝CD5、如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，E是CD的中点，且AE平分∠BAD（1）如果AD=2，BC=3，求AB的长（2）∠AEB的大小确定吗？如果确定，请求出∠AEB的大小；如果不确定，请说明理由解：1）延长AE、BC交于F因为AD//BC所以∠DAF＝∠F，∠D＝∠ECF因为AE平分∠BAD所以∠BAF＝∠DAF所以∠BAF＝∠F所以AB＝BF＝BC＋CF因为DE＝CE，∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F所以△ADE≌△FCE（AAS）所以AD＝CF＝2因为BC＝3所以AB＝3＋2＝52）∠AEB大小是确定的，总等于90°理由：由（1）知△ADE≌△FCE所以AE＝EF因为AB＝BF所以BE是等腰三角形底边AF上的中线所以根据“三线合一”性质得BE是等腰三角形底边AF上的高所以BE⊥AE所以∠AEB＝90°
