解析几何专题05直线与椭圆综合问题学习目标（1）能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系；（2）能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长，并在此基础上解决相关三角形的面积问题；（3）能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题；（4）初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。知识回顾及应用1．椭圆中的定值或定点问题此类问题的一般解题思路2．椭圆中的最值或范围问题此类问题的一般解题思路3．椭圆中的其它综合问题4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，离心率，过点的直线交椭圆于两点，且满足.试用直线的斜率表示的面积。【变式1】已知椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，离心率，过点的直线交椭圆于两点，且满足.当的面积最大时，求椭圆E的方程。【变式2】*已知椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，离心率，过点斜率为的直线交椭圆于两点。若，且。试问：实数1分别为何值时，椭圆E的短轴长最大？求此时椭圆E的方程。问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】椭圆中的定值或定点问题例1．已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使MA·MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2此类问题常常可以先由特殊情况得到定值或定点，再从一般情况加以证明；也可以分别从条件和结论两个方向探索，最后在中间某处实现统一；有时还可能会用到“多项式恒等定理”。【类型二】2．椭圆中的最值或范围问题例2已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．练习：已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．3此类问题往往与函数、不等式有关系：有时可以通过建立函数关系求函数的最值；有时可以通过判别式定理得到一个不等式再求解；有时还可以通过三角代换转化为三角问题借助三角函数的有界性求解……其解题关键是对题目信息的有效整合。【类型三】椭圆中的其它综合问题例3．已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。.练习：如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.4弦长公式常常配合韦达定理一起使用：其中是直线的斜率，分别是A,B两点的横坐标。检测1．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）已知△的面积为40，求a,b的值.2．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆的左顶点到右焦点的距离为3.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若过点与椭圆C交于不同的两点A，B，且，求实数m的取值范围.53．（2013西城一模）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．4.已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.纠错矫正6总结反思7
