高等数学函数的凹凸性与拐点-第3节课1VIP免费

高等数学高等数学曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法高等数学高等数学一、曲线的凹凸性2x问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfyxyo)(xfyABC1x凹（上凹）凹（上凹）凸（下凹）凸（下凹）高等数学高等数学定义定义如果在某区间内曲线每一点的如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）；该区间内是凹的（或称上凹）；如果在某区间内曲线每一点的如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）该区间内是凸的（或称下凹）..高等数学高等数学xx11xx22xxyyoo1122凹（上凹）凹（上凹）递增)(xf0y高等数学高等数学凸（下凹）凸（下凹）xxyyoo1122xx22xx11递减)(xf0y高等数学高等数学xyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA递增)(xf0y递减)(xf0y定理2.12.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf高等数学高等数学例1.arctan的凹凸性判断曲线xxy高等数学高等数学.arctanxxy解,1arctan2xxxy,0)1(2)1(2)1(11222222xxxxxxy上为凹的；在曲线),(高等数学高等数学例2.3的凹凸性判断曲线xy高等数学高等数学例2.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,高等数学高等数学例3.3的凹凸性判断曲线xy高等数学高等数学例3.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0()0(凹变凸的分界点是曲线由不存在，但点尽管f高等数学高等数学定义：定义：连续曲线凹弧与凸弧的分界点连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。称为曲线的拐点。高等数学高等数学说明：说明：拐点是曲线凹凸的转折点，拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数那么曲线的二阶导数ff((xx))由大于由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数零，这时拐点上的二阶导数ff""((xx))一定一定等于零或者不存在等于零或者不存在..高等数学高等数学的凹凸性.例4.判断函数高等数学高等数学xyO解:,43xy故曲线在上是凹的.说明:若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变..高等数学高等数学判定曲线判定曲线yy==ff((xx))的凹凸及拐点的步骤：的凹凸及拐点的步骤：11、确定函数的定义域；、确定函数的定义域；22、求出函数的二阶导函数、求出函数的二阶导函数ff((xx))；并；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；存在的点；33、由上述特殊点把所讨论的区间分成、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。点，并写出凹凸区间和拐点坐标。高等数学高等数学例5..)1(32的凹凸性与拐点讨论曲线xxy高等数学高等数学解),(:D;3235)(31323235xxxxy).51(91034xxy拐点32)1(xxy0x)51,(),0()0,51(510yy凸凹凹非拐点)1556,51(3不存在;0不存在时，yx.051yx时，高等数学高等数学例6.143)(34凹、凸的区间的拐点及求曲线xxxf高等数学高等数学例6.143)(34凹、凸的区间的拐点及求曲线xxxf解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的...