偏微分方程数值解期末试题及答案VIP免费

偏微分方程数值解试题(06B)参考答案及评分标准信息及计算科学专业一（10分）、设矩阵A对称，定义J(x)1(Ax,x)(b,x)(xRn)，()J(x0x).若2'(0)0,则称称x0是J(x)的驻点（或稳定点）.矩阵A对称（不必正定），求证x0是J(x)的驻点的充要条件是：x0是方程组解:设x0Axb的解Rn是J(x)的驻点,对于任意的xRn,令()J(x0x)J(x0)(Ax0b,x)'(0)0,即对于任意的22(Ax,x),(3分)xAx0b,则有xRn,(Ax0b,x)0,特别取(Ax0b,Ax0b)||Ax0b||20,得到Ax0b.(3分)反之,若x0Rn满足Ax0b,则对于任意的x,J(x0x)(1)(0)1(Ax,x)J(x0),因此x0是J(x)的最小值点.(4分)2评分标准:()的展开式3分,每问3分,推理逻辑性1分dduLu(p)quf二（10分）、对于两点边值问题：dxdx'u(a)0,u(b)0其中x[a,b]x(a,b)pC1([a,b]),p(x)minp(x)pmin0,qC([a,b]),q0,fH0([a,b])建立及上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。解:设HE11{u|uH1(a,b),u(a)0}为求解函数空间,检验函数空间.取vHE(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分)即变分问题的Galerkin形式.(3分)令J(u)11bdua(u,u)(f,u)[p()2qu2fu]dx,则变分问题的Ritz形式为求22adxuHE1u*HE(a,b),使J(u*)minJ(u)(4分)1评分标准:空间描述及积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。第1页偏微分方程数值解期末试题及答案--第1页偏微分方程数值解期末试题及答案--第1页1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就h1/5和h1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。（2）取h解:(1)区域离散xjjh,ykkh,差分格式为uj1,k2ujkuj1,kh2uj,k12ujkuj,k1h20(5分)h24u4u应用Tayloy展开得到,截断误差为[44]jkO(h4),其阶为O(h2)(3分)12xy(2)未知量为U(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AUF,其中41A10求解得到解为(3分)L=11012/35/34011/31/3,F(4分)04112/35/31141/31/3A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]2.0000-0.5000-0.5000001.9365-0.1291-0.5164001.9322-0.55210001.8516u=0.66670.33330.66670.333341141(3)矩阵为,B(5分)14评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分u2ua2bu,0x1,0tTxtu(x,0)(x),0x1四（20分）、对于初边值问题u(0,t)u(1,t)0,0tT（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk1BUkF的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式(CrankNicolson格式)并写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。第2页偏微分方程数值解期末试题及答案--第2页偏微分方程数值解期末试题及答案--第2页解:(1)区域离散,格式为1ukukjja12kkubuxjj,(5分)2h应用Taylor展开得到,误差主项为(3分)12ukah24uk(2)j(4)jO(2h4),阶为O(h2)2t12x(2)AE,Bdiag{r,12r,r},(4分)稳定条件为r(3)格式为1/2(3分)1ukukjja2bk1k1kk(u(1)u)(uuxjjjj),(3分)22h低阶项归入O()中,格式是无条件稳定的.(2分)五（10分）、逼近的三层差分格式11ununjj2nunj1uj12h0分析格式的稳定性n1nn1r(unj1uj1)uj(2分)解:计算形式为uj此为三层格式,化为两层格式.令vjn1unj,则有n1nnnujr(uj1uj1)vjn1unjvj(4分)nnijh,代入格式,消去公因子,得到w1neijh,vnwj2e令ujw1n12irsinh1...