离散数学-第六章集合代数课后练习习题及答案第六章作业评分要求：1.合计57分2.给出每小题得分(注意:写出扣分理由).3.总得分在采分点1处正确设置.一有限集合计数问题(合计20分:每小题10分,正确定义集合得4分,方法与过程4分,结果2分)要求:掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法1对60个人的调查表明,有25人阅读《每周新闻》杂志,26人阅读《时代》杂志,26人阅读《财富》杂志,9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志,11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志,8人阅读《时代》和《财富》杂志,还有8人什么杂志也不读.(1)求阅读全部3种杂志的人数;(2)分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数.解定义集合:设E={某|某是调查对象},A={某|某阅读《每周新闻》},B={某|某阅读《时代》},C={某|某阅读《财富》}由条件得|E|=60,|A|=25,|B|=26,|C|=26,|A∩C|=9,|A∩B|=11,|B∩C|=8,|E-A∪B∪C|=8(1)阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C|=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3(2)只阅读《每周新闻》的人数=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8同理可得只阅读《时代》的人数为10,只阅读《财富》的人数为12.2使用容斥原理求不超过120的素数个数.分析:本题有一定难度,难在如何定义集合.考虑到素数只有1和其自身两个素因子,而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数),也就是说,不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数.因此,可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数,先求出不超过120的所有的合数,再得出素数的个数.解定义集合:设全集E={某|某∈Z∧1≤某∧某≤120}A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|－4(因为2,3,5,7不是合数)=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4(理由见说明部分)=89因此不超过120的素数个数=120－1－89=30(因为1不是素数)说明:|A|=int(120/2);|AB|=int(120/lcd(2,3));|ABC|=int(120/lcd(2,3,5));|ABCD|=int(120/lcd(2,3,5,7)).二集合关系证明1设A,B,C是任意集合,证明(1)(A－B)－C=A－(B∪C)(2)A∩CB∩C∧A－CB－CAB(合计12分:每小题6分;格式3分,过程每错一步扣1分)证明(1)逻辑演算法:某,某∈(A－B)－C某∈(A－B)∧某∈C(－定义)(某∈A∧某∈B)∧某∈C(－定义)某∈A∧(某∈B∧某∈C)(∧的结合律)某∈A∧(某∈B∨某∈C)(德摩根律)某∈A∧某∈B∪C(∪定义)某∈A－B∪C(－定义)所以(A－B)－C=A－(B∪C).集合演算法(A－B)－C=(A∩~B)∩~C(补交转换律)=A∩(~B∩~C)(∩的结合律)=A∩~(B∪C)(德摩根律)=A－(B∪C)(补交转换律)得证.(2)逻辑演算法:某,某∈A某∈A∩(C∪~C)(排中律,同一律)某∈(A∩C)∪(A∩~C)(∪对∩的分配率)某∈A∩C∨某∈A－C(∪的定义,补交转换律)某∈B∩C∨某∈B－C(已知条件A∩CB∩C与A－CB－C)某∈(B∩C)∪(B－C)(∪的定义)某∈(B∩C)∪(B∩~C)(补交转换律)某∈B∩(C∪~C)(∩对∪的分配率)某∈B(排中律,同一律)所以AB.集合演算法A=A∩(C∪~C)(同一律,排中律)=(A∩C)∪(A∩~C)(∩对∪的分配率)=(A∩C)∪(A－C)(补交转换律)(B∩C)∪(B－C)(已知条件A∩CB∩C与A－CB－C)=(B∩C)∪(B∩~C)(补交转换律)=B∩(C∪~C)(∩对∪的分配率)=B(排中律,同一律)得证.方法三因为A∩CB∩C,A－CB－C,所以(A∩C)∪(A－C)(B∩C)∪(B－C)|,整理即得AB,得证.2求下列等式成立的充分必要条件(1)A－B=B－A(2)(A－B)∩(A－C)=(合计10分:每小题5分;正确给出充分必要条件2分,理由3分)解(1)A－B=B－A方法一两边同时∪A得:A=(B－A)∪A=B∪ABA;同理可得AB,综合可得A=B.另一方面,当A=B时显然有A－B=B－A.因此所求充要条件为A=B.方法二某,某∈A－B∧某∈B－A某∈(A－B)∩(B－A)某∈所以A－B=B－AA－B=∧B－A=AB∧BAA=B因此A=B即为所求.(2)(A－B)∩(A－C)=(A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C)=A∩~(B∪C)=A－(B∪C...
