第1页函数专题一函数的基本性质及其应用一、利用函数的性质求函数的值域1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a，当a＜0时，y≤-△/4a；3、反比例函数的值域：y≠0；4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．二、函数的单调性及应用1、A为函数f(x)定义域内某一区间，2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x)同增、同减，f(g(x))为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x))为减函数．例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：由题意可得原函数的定义域是（－１，４），设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2，所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2]上单调递增；在区间[3/2，4）上单调递减．①a＞１时，y=logau在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2]，即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．②０＜a＜１时，y=logau在其定义域内为减函数，第2页函数专题一由x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2，4），即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．三、函数的奇偶性及应用1、函数f(x)的定义域为D，x∈D，f(-x)=f(x)→f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)→是奇函数2、奇偶性的判定：作和差f(-x)±f(x)=0判定；作商f(x)/f(-x)=±1,f(x)≠0判定3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、函数的图象关于原点对称奇函数；函数的图象关y轴对称偶函数5、函数既为奇函数又为偶函数f(x)=0,且定义域关于原点对称;6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．2.判断函数的奇偶性：解：当＞0时，－＜0，于是当＜0时，－＞0，于是综上可知，是奇函数．3为R上的偶函数，且当时，，则当时，x(x+1)若f(x)是奇函数呢？4、已知函数是偶函数，求实数的值．5.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=b=06.已知函数，若，求的值。四、函数的周期性及应用1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x)→f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T=2π/|ω|；第3页函数专题一3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω|；4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；5、一般地，sinωx和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x|的周期是π/2，y=|cotx|的周期是π．例7.设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5)［解析］：由题意可知，f(2+x)=f(x)∴f(7.5)＝f(8-0.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)＝－０.５例8.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式..解：设时，有是以2为周期的函数，.例9．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，例10.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得第4页函数专题一，故为偶函数.分段函数例11．求函数的最大值.【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.12．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）A例13．判断函数的单调性.【解析】显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.例14．写出函数的单调减区间.-12131o-2yx第5页函数专题一【解析】,画图易知单调减区...
