例说常用三角恒等变换技巧南漳一中蒋彦祖【摘要】解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点,从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。【关键词】三角公式恒等变换技巧解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多,主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式(化一公式)”、“万能置换公式”等,这些公式间一般都存在三种差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异,只有灵活有序地整合使用这些公式,消除差异、化异为同,才能得心应手地解决问题,这是三角问题的特点,也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一“角变换”技巧角变换的基本思想是,观察发现问题中出现的角之间的数量关系,把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。例1已知,求证:。【分析】:所给已知条件出现的“已知角”是与,问题涉及的“未知角”是与,比较这四个角可以发现,,把“已知角”转化为“未知角”,再用两角和的正切公式展开、整理即可证明等式成立。【简证】: ∴展开得移项整理得又 ,等式两边同乘得【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外,还用到了“弦化切”技巧.;(2)本题也可由已知直接求出与的关系,但与目标相差甚远,一是函数名称不同,二是角不同,所以较为困难;(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有:,,,,,等.二“名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换,需要进行名变换的问题常常有明显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。例2已知向量,,求的定义域和1值域;【分析】易知,这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数式更简明。【简解】由得,,所以,.的定义域是,值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解.3“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,以利于完善式子结构,运用相关公式求解,如,,等.例3(1)求证:;(2)化简:.【分析】第(1)小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式,有利于系统研究函数的图象与性质.【简解】(1)左边=.(2)原式=【反思】“1”的变换应用是很多的,常见的有等。四“升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时,常用升幂公式去根号,当所给条件出现正、余弦的平方时,常用“降幂”技巧,常见的公式有:,,2,可以看出,从左至右是“幂升角变半”,而从右至左则是“幂降角变倍”.例4(1)化简:(2)若【分析】(1)含有根号,需“升幂”去根号.(2)注意,运用诱导公式和倍角公式求出。【简解】(1)原式==因为,所以,,所以,原式.,【反思】以上两例表明,“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤,只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如(1)中用到了常数“变换技巧”,(2)中用到了“切化弦“的技巧五“公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用,如,,等,实际上,“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例5求值:(1);(2)。【分析】第(1)小题中,除是特殊角外,其他角成倍角,于是考虑使用倍角公式;第(2)小题中两角差为,而是两角差的正切值,所以与两角差的正切公式有关。【简解】(1)原式=。(2)原式==。3【反思】第(1)...