例说三角恒等变换技巧VIP专享VIP免费

例说常用三角恒等变换技巧南漳一中蒋彦祖【摘要】解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。【关键词】三角公式恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1已知，求证：。【分析】：所给已知条件出现的“已知角”是与，问题涉及的“未知角”是与，比较这四个角可以发现，，把“已知角”转化为“未知角”，再用两角和的正切公式展开、整理即可证明等式成立。【简证】： ∴展开得移项整理得又 ，等式两边同乘得【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，，，，，等.二“名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例2已知向量，，求的定义域和1值域；【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】由得，，所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.3“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如，，等.例3（1）求证:；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.【简解】（1）左边=.（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，常见的有等。四“升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，，2，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例4（1）化简：(2)若【分析】(1)含有根号，需“升幂”去根号.(2)注意，运用诱导公式和倍角公式求出。【简解】(1)原式==因为，所以，，所以，原式.，【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如(1)中用到了常数“变换技巧”，(2)中用到了“切化弦“的技巧五“公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例5求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式＝。（2）原式＝＝。3【反思】第（1）...