第一讲：函数的概念【例1】⑴已知，求．⑵已知，求．⑶已知的定义域是，求：①的定义域；②的定义域⑷已知实数，函数若，则的值为．【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，．⑴求时的解析式；⑵若关于的方程有三个不同的解，求的取值范围；⑶是否存在正数，当时，，且的值域为．若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【例3】已知，，函数的最小值为．⑴求的解析式；⑵是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【例4】已知二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，且有，当时，恒有．（1）当，时，解不等式；（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；（3）若，且，对所有，恒成立，求实数的取值范围．【课堂演练】1．函数的定义域为．2．已知则．3．已知，求的表达式及定义域和值域．4．若函数的定义域和值域都是，求与的值．5．已知为常数，若，，则．6．设函数若，则实数的取值范围是．7．已知定义域为的函数满足．⑴若，求；若，求；⑵设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式．8．已知二次函数（为常数且）满足条件，且方程有两个相等的根．⑴求的解析式；⑵是否存在实数使的定义域和值域分别为和．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．第一讲：函数的概念【例1】⑴已知，求．⑵已知，求．⑶已知的定义域是，求：①的定义域；②的定义域①；②⑷已知实数，函数若，则的值为．当时，得（舍）；当时，．【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，．⑴求时的解析式；⑵若关于的方程有三个不同的解，求的取值范围；⑶是否存在正数，当时，，且的值域为．若存在，求出的值，若不存在，说明理由．解：⑴任取，则．．为奇函数，．⑵方程有三个不同的解，由的图象知，．．⑶由⑴知，当，，若存在正数满足题意，则，即．又函数在上是减函数，解得，解得．存在满足题意．【例3】已知，，函数的最小值为．⑴求的解析式；⑵是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：⑴由，知识．令，令，则的对称轴．故有①当时，的最小值．②当时，的最小值．③当时，的最小值．综上，⑵当时，，故时，在上为减函数，所以在上的值域为．由题意，则有两式相减得．又，．这与矛盾．不存在满足条件的的值．【例4】已知二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，且有，当时，恒有．（1）当，时，解不等式；（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；（3）若，且，对所有，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当，时，，的图像与轴有两个不同交点，因，设另一个根为，则，所以，于是的解集．（2）的图像与轴有两个交点，因，设另一个根为，则故．所以三交点的坐标标分别为．又当时，恒有，则，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为，故，于是．（3）当时，恒有，则，所以在上是单调递减的，且在处取到最大值1．要使，对所有，恒成立，必须成立，即．令，对所有，恒成立，只要即解得实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2．【课堂演练】1．函数的定义域为．2．已知则．3．已知，求的表达式及定义域和值域．4．若函数的定义域和值域都是，求与的值．5．已知为常数，若，，则．或6．设函数若，则实数的取值范围是．7．已知定义域为的函数满足．⑴若，求；若，求；⑵设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式．解：⑴，．又，．若，则⑵，对任意，有．令，得．又，．若，则，但方程有两个不同实根，与题设矛盾．故，，即．8．已知二次函数（为常数且）满足条件，且方程有两个相等的根．⑴求的解析式；⑵是否存在实数使的定义域和值域分别为和．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．解：⑴由可知，．又方程有两个相等的根，即，．．⑵，．．函数在上单调递增．假设存在实数使的定义域和值域分别为和，则有即是方程的两根，由，得，．
