第5讲三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[k·2π－，k·2π＋(k∈Z)]减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z)增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)增区间(k·π－，k·π＋)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称对称(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z性中心对称轴x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋，k∈Zkπ，k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(4)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．()(5)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×函数y＝tan3x的定义域为()A.B.C.D.解析：选D.由3x≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋，k∈Z.故选D.(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在(，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．所以选D.函数y＝3－2cos的最大值为__________，此时x＝________．解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．答案：5＋2kπ(k∈Z)函数f(x)＝sin，x∈[0，π]的减区间为________．解析：当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递减区间为.答案：三角函数的定义域和值域[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．(2)函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域是________．【解析】(1)依题意，f(x)＝sin2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1，因为x∈，所以cosx∈[0，1]，因此当cosx＝时，f(x)max＝1.(2)要使函数y＝lg(2sinx－1)＋有意义，则即解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.即函数的定义域为，k∈Z.【答案】(1)1(2)，k∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．③(换元法)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．④(换元法)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．[通关练习]1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为()A.B.C.D.解析：选B.当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是.2．函数y＝lgsinx＋的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)，所以2kπ
