第2讲两条直线的位置关系[考纲解读]1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直．(重点)2.能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲内容很少独立命题．预测2020年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系，求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题．题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题型.1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2．三种距离3．常用的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.1．概念辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为()A．7B．0或7C．0D．4答案B解析 直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.(2)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0答案C解析直线x－2y－2＝0的斜率是，与之垂直的直线的斜率是－2，所以要求的直线方程是y－0＝－2(x－1)，整理得2x＋y－2＝0.(3)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是________．答案解析原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.(4)已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为________．答案x＋y－4＝0解析线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率k1＝1，∴直线l的斜率k2＝－1，∴直线l的方程为x＋y－4＝0.题型两条直线的位置关系1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．答案－9解析由得∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.2．(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1. l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又 l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0. k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又 l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2) l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a，③又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④联立③④，解得或∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.条件探究把举例说明2中两条直线方程改为“l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0”，分别求：(1)当l1∥l2时a的值；(2)当l1⊥l2时a的值．解(1)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.综上可知，a＝－1.解法二：由l1∥l2知即⇒⇒a＝－1.(2)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.解法二： l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝.1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．由一般式确定两直线位置关系...
