第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：□sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：□＝tanα.2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．()(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.()(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.小题热身(1)若sinα＝，<α<π，则tanα＝________.答案－解析因为sinα＝，<α<π，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.(2)化简：＝________.答案－cosα解析原式＝＝－cosα.(3)sin2490°＝________；cos＝________.答案－－解析sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(4)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.答案－解析因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.题型同角三角函数关系式的应用1.已知cosα＝，－<α<0，则＝()A.2B．－2C．－D.答案C解析因为cosα＝，－<α<0，所以sinα＝－＝－，所以＝＝＝－.2.已知tanx＝3，则＝________.答案2解析因为tanx＝3，所以＝＝＝2.3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.答案44.5解析因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知△ABC中，＝－，则cosA等于()A.B.C．－D．－答案D解析因为A是三角形内角，且＝－<0，所以cosA<0且5cosA＝－12sinA，则25cos2A＝144sin2A＝144(1－cos2A)解得cos2A＝，所以cosA＝－.2.若α是第二象限角，则tanα化简的结果是()A.－1B．1C.－tan2αD．tan2α答案A解析因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以tanα＝·＝－·＝－1.3.(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为()A.－B.C.－或0D.或0答案D解析因为2sinα＝1＋cosα，所以4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，又因为sin2α＝1－cos2α，所以4(1－cos2α)＝1＋2cosα＋cos2α，即5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝.当cosα＝－1时，sinα＝0，tanα＝0，当cosα＝时，sinα＝，tanα＝.题型诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为()A.1B．－1C．0D．2答案C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f(α)＝，则f的值为()A.B.C.D.答案A解析 f(α)＝＝cosα，∴f＝cos＝cos＝cos＝.3.已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．答案0解析因为cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.条件探究1若举例说明3的条件“cos＝a”改为“sin＝a”，求cos.解cos＝cos＝－sin＝－a.条件探究2若举例说明3的条件“cos＝a”改为“cos(α－17°)＝a”，求sin(α－107°)．解sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°)＝－cos(α－17°)＝－a.(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中－θ＋＋θ＝π，－＝.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝()A.－B．－C.D.答案B解析因为角α的终边经过点P(3,4)．所以cosα＝＝.所以sin＝sin＝sin＝－sin＝－cosα＝－.2.(2018·石家庄...
