第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α∓β)：cos(α∓β)＝□cosαcosβ±sinαsinβ.(2)S(α±β)：sin(α±β)＝□sinαcosβ±cosαsinβ.(3)T(α±β)：tan(α±β)＝□.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝□2sinαcosα.(2)C2α：cos2α＝□cos2α－sin2α＝□2cos2α－1＝□1－2sin2α.(3)T2α：tan2α＝□.3.公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝□tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)cos2α＝□，sin2α＝□.(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝sin.(4)asinα＋bcosα＝□sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．1.概念辨析(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．()(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)对任意角α都有1＋sin＝2.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2.小题热身(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝()A.－B.C．－D.答案C解析因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－.(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β)B．sinαC.cos(α＋2β)D．cosα答案D解析cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(3)已知cosx＝，则cos2x＝()A.－B.C．－D.答案D解析cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为()A.0B.C.D.答案D解析由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.题型两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P，则sin(α－β)＝________.答案－解析因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sinα＝，cosα＝.因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q，所以sinβ＝，cosβ＝－，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________.答案解析tan＝＝＝，解方程得tanα＝.3.已知α∈，sinα＝，则cos的值为________．答案－解析因为α∈，sinα＝.所以cosα＝－＝－.所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝－×＋×＝－.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为()A.－B．－C.D.答案A解析 sin(π－α)＝，∴sinα＝，又 ≤α≤π，∴cosα＝－＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.2.(2018·上饶三模)由射线y＝x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y＝－x(x≤0)的位置所成的角为θ，则cosθ＝()A.－B．±C．－D．±答案A解析设y＝x(x≥0)的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线y＝－x(x≤0)的倾斜角为β，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.3.若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于()A.5B．－1C．6D.答案A解析由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝5.题型两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()A.B.C.D.答案A解析－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()A.B．1＋C.2D．2(ta...
