高考数学竞赛 解三角形教案讲义（7）VIP专享VIP免费

第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1．正弦定理：CcBbAasinsinsin=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=.sin21sin21sin21BcaAbcCab推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足)sin(sinabaa，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=Cabsin21；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理BbAasinsin，所以)sin()sin(sinsinAaAa，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于21[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=21[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAbcacbA2cos222，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=.22pqqpqcpb（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos.ADB①同理b2=AD2+q2-2AD·qcosADC，②因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=.22pqqpqcpb注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式.222222acbAD用心爱心专心（2）海伦公式：因为412ABCSb2c2sin2A=41b2c2(1-cos2A)=41b2c21614)(1222222cbacb[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里.2cbap所以S△ABC=).)()((cpbpapp二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足QORPOQ,，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，R的共线的充要条件是.)sin(sinsinwvu2．正弦定理的应用。例2△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。例3△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求131212222cbaP的最大值。用心爱心专心例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证:a2+b2+c2+4abc<.21三、基础训练题1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=432，则cosAcosB的最大值为__________.2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________.3．在△ABC中，a=4,b+c=5,tanC+tanB+33tanCtanB，则△ABC的面积为__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1，则C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0,tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.7．在△ABC中，sinA=53，cosB=135，则cosC=__________.8．在△ABC中，“三边a,b,c成等差数列”是“tan312tan2CA”的__________条件.9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。13．已知△ABC中，sinC=BABAcoscossinsin，试判断其形状。四、高考水平训练题1．在△ABC中，若tanA=21,tanB=31，且最长边长为1，则最短边长为__________.2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.3．已知p,q∈R+,p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△A...