第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减为增对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ[小题体验]1．①y＝cos2x;②y＝sin2x;③y＝tan2x;④y＝|sinx|四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y＝－tan＋2的定义域为________________．答案：1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在和上是增函数，在上是减函数答案：D2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．解析：由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.答案：－[题组练透]1．函数y＝的定义域为________．解析：由题可得所以有0＜sinx≤，解得2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z，所以所求函数的定义域为.答案：2．函数y＝lg(sin2x)＋的定义域为______________．解析：由得∴－3≤x＜－或0＜x＜.∴函数y＝lg(sin2x)＋的定义域为∪.答案：∪[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．[典例引领]1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－B．0C．－1D．－1－解析：选A 0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴sin∈.∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.2．(2018·浙北联考)函数f(x)＝2cos2x＋5sinx－4的最小值为________，最大值为________．解析：f(x)＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－22＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9；当sinx＝1时，f(x)有最大值1.答案：－913．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________________．解析：设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝，且－1≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f(x)＝2asin＋a＋b(a＜0)的定义域为，值域为[－5,1]，则a＋b＝________.解析：因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈.因为a＜0，所以f(x)∈[3a＋b，b]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a＋b＝－5，b＝1，所以a＝－2，所以a＋b＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数．[即时应用]求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．解：令t＝sinx， |x|≤，∴t∈.∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.∴函数y＝cos2x＋sinx的最大值为，最小值为.[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y＝5sin的最小正周期为()A．6B．－6C．D．解析：选A函数的最小正周期为T＝＝6.2．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝，φ＝B．ω...
