高考数学 第一节 数列的概念及其表示法教材VIP专享VIP免费

第一节数列的概念及其表示法考点串串讲1．数列的定义(1)定义按一定顺序排成的一列数叫做数列．如a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，数列中的一个数叫做数列的项，项所在的位置叫做项的序号，也叫项数，用下标表示，如a3表示第3项，a10表示第10项，an表示第n项．(2)对数列定义的理解：(ⅰ)数列{an}与集合{a1，a2，…，an，…}不同，前者是借用集合符号表示数列，如数列1，，，…，，…①可记为{}，它表示数列①，而数列{}则表示数列②0,1,0,1,0,1，…，，…②从数列②中可以看出数列中项的值可以重复，而集合中是不允许的．{a1，a2，…，an，…}表示集合，其中的元素是a1，a2，…，an，…这些数，它们是互不相等的，根据集合的意义，这些元素可以在集合中的任何一个位置，即它们在集合中是无序的，然而数列中每一个数它们的位置是固定的，因为数列中的数是按一定顺序排列而成的．如数列，1，，2，③与数列1，，2，，④这两个数列虽然它们都是由同样的几个数组成，但由于它们所处的位置不同，因此这是两个不同的数列．(ⅱ)an与{an}不同根据定义an表示数列的第n项，如a1表示第1项，an＋1表示第n＋1项，所以an也叫做数列的通项．而{an}是数列a1，a2，…，an，…的一种简写的形式．特别地，当an可以用一个解析式子表示时，可以直接将这个式子写在花括号内来表示数列．所以an与{an}是数列的第n项与整个数列的关系．(ⅲ)多少个数才能称为“一列数”两个数不能称为一列，三个或三个以上(可以重复)的数，才能称为一列数，所以数列的项数n最少为3.(ⅳ)数列的本质是函数从数列的定义中，可以看出，在一个已知数列中，其中任一项的值，由这个项的“序号”唯一确定，也就是说数列中每个项的值是其项的序号的函数，即an＝f(n)，n∈N＋.如此看来，数列就可看作是定义在正整数集N＋或其有限真子集{1,2，…，n}上的函数，当自变量n从小到大依次取值时对应的一列函数值．这种从“函数的观点”看待数列的思想使我们有可能借助熟悉的研究函数的方法来研究数列．但是要特别注意：对数列来说，定义域不是1个或几个区间，而是正整数集N＋或某个真子集，这就是数列的个性特征．反思数列的定义可以看出：数列最突出的特点是其项的离散性和有序性．因此，关注每个项的“下标”(项的序号)就成了研究数列的最重要的切入点．2．数列的表示法(1)列举法把数列{an}的项依次列举出来：a1，a2，a3，…，an，…这种方法称为列举法，其中an(n＝1,2,3，…)叫做第n项(又叫通项)，列举法在提出问题与分用心爱心专心1析问题时广泛使用，如问题一：已知等比数列，，，，…，求数列的前n项和．问题二：已知等差数列1,4,7,10，…，求这个数列的通项等等，这些数列都是用列举法形式给出．用列举法给出的数列直观，由于规律隐含在前面给出的这些项中，所以又很抽象．分析或解决问题时，要从中抽象出通项来．如从问题一的数列中抽象出an＝，n∈N＋，从问题二的数列中抽象出an＝3n－2，n∈N＋.(2)图象法和函数一样，在直角坐标平面内描绘出数列{an}的一系列散点图，这也是给出数列的一种方式．这种表示方法也具有很强的直观性，可以直接从图象上了解到项an与自变量n之间的变化趋势，但是确定的函数关系并不清楚．如果要求通项an＝f(n)可以像拟合函数一样来拟合数列．(3)解析法——数列的通项公式把数列{an}的第n项an用n的解析式表示出来，这种方法称为解析法．这个解析式叫做数列的通项公式，即an＝f(n)，n∈N＋.通项公式体现了数列的本质规律，它在计算或讨论数列的性质时，有独特的直接作用，因此成为人们经常使用的一种方法．如同有的函数找不到解析式一样，不是所有的数列都能用解析法表示．(4)递推法数列{an}还可用它的第一项(或前几项)和一个由连续几项构成的递推式an＋1＝f(an，an－1，…)联合给出，这种方法称为递推法．如已知a1＝－2，an＋1＝an＋1(n∈N＋)，从n＝1开始从小到大依次可以写出数列的全部项．3．数列的分类不同的标准导致不同的分类．(1)按数列的项数多少可分为有穷数列与无穷数列．注意有穷数列与无穷数列的列举法表示．如1，，，为有穷数列，这个数列只有4项．而1，，，，…为无穷数列，有无穷多项．(2)...