数学思维的变通性吉小卫一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知都是实数，求证思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设如图1－2－1所示，则在中，由三角形三边之间的关系知：当且仅当O在AB上时，等号成立。因此，例2已知，试求的最大值。解由得又当时，有最大值，最大值为1xyO),(baA),(dcB图1－2－1思路分析要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。例3已知二次函数满足关系，试比较与的大小。思路分析由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解（如图1－2－2）由，知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线它与距离越近的点，函数值越小。（2）联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组.这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程的两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简单。例4在中，若为钝角，则的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。解为钝角，.在中且故应选择（B）例5若思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。2xyO2图1－2－2证明当时，等式可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有：即若，由已知条件易得即,显然也有.例6已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:思路分析由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设所对的角分别为、、则是直角，为锐角，于是且当时，有于是有即从而就有（3）问题转化的训练数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知,,求证、、三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练...
