第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简(师生共研)化简:(1)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=;(2)·=.【解析】(1)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).(2)原式=·=·=·=.【答案】(1)sin(α+γ)(2)(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.1.(2020·长沙模拟)化简:=.解析:===4sinα.答案:4sinα2.化简:.解:原式====cos2x.三角函数式的求值(多维探究)角度一给角求值计算=.【解析】=====2.【答案】2角度二给值求值已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.【解】(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此,cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.角度三给值求角(一题多解)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为,则2α-β的值为.【解析】法一:由已知可知cosα=,sinβ=.又α,β为锐角,所以sinα=,cosβ=.因此cos2α=2cos2α-1=,sin2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β)=×-×=.因为α为锐角,所以0<2α<π.又cos2α>0,所以0<2α<,又β为锐角,所以-<2α-β<,又sin(2α-β)=,所以2α-β=.法二:同法一得,cosβ=,sinα=.因为α,β为锐角,所以α-β∈.所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=.所以sin(α-β)>0,故α-β∈,故cos(α-β)===.又α∈,所以2α-β=α+(α-β)∈(0,π).所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cosαcos(α-β)-sinα·sin(α-β)=×-×=.所以2α-β=.【答案】三角函数求值的3种情况1.计算:=()A.B.-C.D.-解析:选D.原式=-·=-tan=-×=-.2.已知tan=,且α为第二象限角,若β=,则sin(α-2β)cos2β-cos(α-2β)sin2β=()A.-B.C.-D.解析:选D.tan==,所以tanα=-,又α为第二象限角,所以cosα=-,所以sin(α-2β)·cos2β-cos(α-2β)sin2β=sin(α-4β)=sin=-cosα=,故选D.3.(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α,β为锐角,且sinα=,sinβ=,则cos(α+β)=,α+β=.解析:因为α,β为锐角,sinα=,sinβ=,所以cosα=,cosβ=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又0<α+β<π,所以cos(α+β)=,α+β=.答案:[基础题组练]1.已知sin2α=,则cos2等于()A.B.C.D.解析:选A.cos2===,又sin2α=,所以原式==,故选A.2.=()A.B.C.D.1解析:选A.====.3.若tan(α+80°)=4sin420°,则tan(α+20°)的值为()A.-B.C.D.解析:选D.由tan(α+80°)=4sin420°=4sin60°=2,得tan(α+20°)=tan[(α+80°)-60°]===.故选D.4.已知cos=-,则sin-cosα=()A.±B.-C.D.±解析:选D.sin-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sin,而cos=1-2sin2=-,则sin=±,所以sin-cosα=±,故选D.5.若=·sin2θ,则sin2θ=()A.B.C.-D.-解析:选C.由题意知=sin2θ,所以2(cosθ+sinθ)=sin2θ,则4(1+sin2θ)=3sin22θ,因此sin2θ=-或sin2θ=2(舍).6.已知cos2θ=,则sin4θ+cos4θ=.解析:法一:因为cos2θ=,所以2cos2θ-1=,1-2sin2θ=,因为cos2θ=,sin2θ=,所以sin4θ+cos4θ=.法二:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-sin22θ=1-(1-cos22θ)=1-×=.答案:7.(2020·贵州黔东南一模改编)已知sinα+3cosα=...