第2课时简单的三角恒等变换三角函数式的化简(师生共研)化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝；(2)·＝．【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．(2)原式＝·＝·＝·＝.【答案】(1)sin(α＋γ)(2)(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1．(2020·长沙模拟)化简：＝．解析：＝＝＝4sinα.答案：4sinα2．化简：.解：原式＝＝＝＝cos2x.三角函数式的求值(多维探究)角度一给角求值计算＝．【解析】＝＝＝＝＝2.【答案】2角度二给值求值已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解】(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.角度三给值求角(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为．【解析】法一：由已知可知cosα＝，sinβ＝.又α，β为锐角，所以sinα＝，cosβ＝.因此cos2α＝2cos2α－1＝，sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.法二：同法一得，cosβ＝，sinα＝.因为α，β为锐角，所以α－β∈.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，故cos(α－β)＝＝＝.又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinα·sin(α－β)＝×－×＝.所以2α－β＝.【答案】三角函数求值的3种情况1．计算：＝()A.B．－C.D．－解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos2β－cos(α－2β)sin2β＝()A．－B.C．－D．解析：选D.tan＝＝，所以tanα＝－，又α为第二象限角，所以cosα＝－，所以sin(α－2β)·cos2β－cos(α－2β)sin2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cosα＝，故选D.3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则cos(α＋β)＝，α＋β＝．解析：因为α，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝，cosβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.答案：[基础题组练]1．已知sin2α＝，则cos2等于()A.B.C.D．解析：选A.cos2＝＝＝，又sin2α＝，所以原式＝＝，故选A.2.＝()A.B.C.D．1解析：选A.＝＝＝＝.3．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．－B.C.D．解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.4．已知cos＝－，则sin－cosα＝()A．±B．－C.D．±解析：选D.sin－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cosα＝±，故选D.5．若＝·sin2θ，则sin2θ＝()A.B.C．－D．－解析：选C.由题意知＝sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝－或sin2θ＝2(舍)．6．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝．解析：法一：因为cos2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，因为cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sinα＋3cosα＝...
