高考数学一轮复习 第6章 不等式 第3讲 基本不等式讲义 理（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第3讲基本不等式[考纲解读]1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.1．基本不等式设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为□，几何平均数为□，基本不等式可叙述为□两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有□最小值是2(简记：□积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有□最大值是(简记：□和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)2≤(a，b∈R)，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．(5)≥≥ab(a，b∈R)．(6)≥≥≥(a>0，b>0)．1．概念辨析(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．()(2)函数y＝x＋的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为2.()(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值0B．最小值0C．最大值－4D．最小值－4答案C解析因为x<0，所以－x>0，所以－x＋≥2＝2，当且仅当－x＝即x＝－1时等号成立．所以x＋≤－2.所以f(x)＝x＋－2≤－4.即f(x)有最大值－4.(2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82答案C解析由基本不等式18＝x＋y≥2⇔9≥⇔xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lga＋lgb＝2，则lg(a＋b)的最小值为()A．1＋lg2B．2C．1－lg2D．2答案A解析由lga＋lgb＝2，可知a>0，b>0，则lg(ab)＝2，即ab＝100.所以a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号，所以lg(a＋b)≥lg20＝1＋lg2.故lg(a＋b)的最小值为1＋lg2.(4)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．答案15解析设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．题型利用基本不等式求最值角度1直接应用1．(2019·沈阳模拟)已知a＞b＞0，求a2＋的最小值．解 a＞b＞0，∴a－b＞0.∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值是4.角度2拼凑法求最值2．求f(x)＝4x－2＋的最大值．解因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.角度3构造不等式求最值(多维探究)3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为()A．3B．4C.D.答案B解析因为x>0，y>0，且x＋2y＋2xy＝8，所以x＋2y＝8－2xy≥8－2.整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8.又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.故x＋2y的最小值为4.条件探究把举例说明3的条件“x＋2y＋2xy＝8”改为“4xy－x－2y＝4”，其他条件不变，求xy的最小值．解因为x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，所以4xy－4＝x＋2y≥2.整理可得2xy－－2≥0.解得≥2即xy≥2，所以xy的最小值为2.角度4常数代换法求最值(多维探究)4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析解法一：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以a＋b的最小值为4.解法二：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以＋＝1，所以b＝>0，所以a>1，a－1>0，所以a＋b＝a＋＝a＋＝a－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当a－1＝即a＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.条件探究将举例说明4条件变为“x＞0，y＞0且＋＝1”，求x＋y...