（新课改省份专用）高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七节 完胜解析几何压轴大题策略指导（第1课时）审题上——4大策略找到解题突破口讲义（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第七节完胜解析几何压轴大题策略指导第1课时审题上——4大策略找到解题突破口解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一利用向量转化几何条件[典例]如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩]假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．设直线l的方程为y＝x＋b，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y并整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.①因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由①知，b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1.当b＝－4或b＝1时，均有Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＝－4b2－24b＋36＞0，即直线l与圆C有两个交点．所以存在直线l，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.[题后悟通]以AB为直径的圆过原点等价于OA⊥OB，而OA⊥OB又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[针对训练]1．已知椭圆M：＋＝1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点，左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A，B两点．(1)求椭圆M的离心率及短轴长．(2)问：是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，椭圆M的离心率e＝＝，短轴长2b＝2.(2)设点B(x0，y0)，由题意知BC⊥BF1，点F1(－1,0)，C(－2，0)，由BC·BF1＝0，得(－2－x0，－y0)·(－1－x0，－y0)＝0，即(x0＋2)(x0＋1)＋y＝0.①又知点B(x0，y0)满足＋＝1.②1联立①②，解得x0＝－2或x0＝－10.由椭圆方程知，x0＝－2或x0＝－10均不满足题意，故舍去．因此，不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上．策略二角平分线条件的转化[典例]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．[解题观摩](1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：法一：由题意可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0.由Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得kb＜2.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝0，即kPB＋kQB＝＋＝＝＝0，所以k＋b＝0，即b＝－k，所以l的方程为y＝k(x－1)．故直线l恒过定点(1,0)．法二：设直线PB的方程为x＝my－1，它与抛物线C的另一个交点为Q′，设点P(x1，y1)，Q′(x2，y2)，由条件可得，Q与Q′关于x轴对称，故Q(x2，－y2)．联立消去x得y2－8my＋8＝0，其中Δ＝64m2－32＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝8.所以kPQ＝＝，因而直线PQ的方程为y－y1＝(x－x1)．又y1y2＝8，y＝8x1，将PQ的方程化简得(y1－y2)y＝8(x－1)，故直线l过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为x＝my＋a.联立消去x，整理得y2－8my－8a＝0，Δ＞0.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由条件可知kPB＋kQB＝0，即kPB＋kQB＝＋＝＝＝0，所以－8ma＋8m＝0.由m的任意性可知a＝1，所以直线l恒过定点(1,0)．法四：设P，Q，因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝＋＝0，2整理得(y1＋y2)＝0.因为直线l不垂直于x轴，所以y1＋y2≠0，可得y1y2＝－8.因为kPQ＝＝...