4.2.1对数运算课标解读课标要求核心素养1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.(重点)2.理解对数的底数和真数的取值范围.(易混点)3.掌握对数的基本性质及对数恒等式.(难点)1.通过对数定义及相关概念的学习,培养数学抽象的核心素养.2.通过对数性质的学习,培养数学运算的核心素养.《庄子·天下篇》:一尺之棰,日取其半,万世不竭.意思是一尺长的木棍,每天截去它的一半,千秋万代也截不完.问题1:一尺长的木棍,取4次,还有多长?答案(12)4=116(尺).问题2:一尺长的木棍,取多少次,还有0.125尺?请构造出方程.答案设取x次,还有0.125尺,则(12)x=0.125.1.对数的定义及相关概念(1)对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为①以a为底N的对数,记作b=②logaN,其中a称为对数的③底数,N称为对数的④真数.(2)对数恒等式:alogaN=⑤N.(3)两类特殊对数:名称定义符号常用对数以⑥10为底的对数⑦lgN自然对数以⑧e为底的对数⑨lnN思考:如何理解指数式与对数式的关系?提示指数式和对数式的关系如图所示:2.对数的性质性质1⑩负数和零没有对数性质21的对数是0,即loga1=0(a>0且a≠1)性质3底的对数是1,即logaa=1(a>0且a≠1)探究一对数的概念例1(易错题)对数式log(x-2)(x+2)中实数x的取值范围是.易错辨析:忽视对数式中底数大于0且不等于1,真数大于0的情况致误.答案(2,3)∪(3,+∞)解析由题意可得{x+2>0,x-2>0,x-2≠1,解得x>2,且x≠3,所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).易错点拨根据对数的概念,对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0,列出不等式(组),可求得对数式中字母的取值范围.1.对数式log(2x-3)(x-1)中实数x的取值范围是.答案(32,2)∪(2,+∞)解析由题意可得{x-1>0,2x-3>0,2x-3≠1,解得x>32,且x≠2,所以实数x的取值范围是(32,2)∪(2,+∞).探究二指数式与对数式的互化例2(1)将下列指数式与对数式互化:①log216=4;②43=64;③lg1000=3.(2)设a=log310,b=log37,求3a-b的值.解析(1)①因为log216=4,所以24=16.②因为43=64,所以log464=3.③因为lg1000=3,所以103=1000.(2)因为a=log310,b=log37,所以3a=10,3b=7.所以3a-b=3a3b=107.思维突破指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.2.(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式:①10-3=11000;②ln2=x.(2)已知a>0且a≠1,loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解析(1)①因为10-3=11000,所以lg11000=-3.②因为ln2=x,所以ex=2.(2)由loga2=m得am=2,由loga3=n得an=3,所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.探究三对数的性质与对数恒等式例3计算:22+log25=.答案20解析22+log25=22×2log25=4×5=20.思维突破解题步骤:3.(1)求2log23+log43的值;(2)已知log2019(log3(log2a))=0,计算36log6a的值.解析(1)2log23+log43=2log23×2log43=3×(4log43)12=3❑√3.(2)由log2019(log3(log2a))=0,得log3(log2a)=1,∴log2a=3,解得a=8,∴36log6a=(6log68)2=82=64.1.对数式x=lg2化为指数式为()A.10x=2B.x10=2C.x2=10D.2x=10答案A2.若log8x=-23,则x的值为()A.14B.4C.2D.12答案A log8x=-23,∴x=8-28=2-2=14,故选A.3.2log23=.答案34.若log3(log2x)=0,则x12=.答案❑√2解析 log3(log2x)=0,∴log2x=30=1,∴x=2,即x12=❑√2.数据分析——利用恒等转化思想求值(1)设3a=4b=36,求2a+1b的值;(2)已知2x=3y=5z,且1x+1y+1z=1,求x,y,z的值.素养探究:运用数学转化思想时要抓住问题的实质,在遇到较复杂的问题时,通过分析问题,然后使用一定的方法,使复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化,抽象的问题具体化,过程中体现数据分析核心素养.解析(1)由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得1a=log363,1b=log364,∴2a+1b=2log363+log364=log3636=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0且k≠1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴1x=logk2,1y=logk3,1z=logk5,由1x+1y+1z=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.已知3a=5b=M,且1a+1b=2,则M=.答案❑√15解析由3a=5b=M,...
