第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0).由NP＝NM，得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明由题意知F(－1，0).设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n).由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.跟踪训练1已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN.(1)解由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.∴椭圆T的方程为＋y2＝1.(2)证明方法一①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.方法二①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(2cosθ，2sinθ)，切线方程为y－2sinθ＝k(x－2cosθ)，联立得(1＋3k2)x2＋12k(sinθ－kcosθ)x＋12(sinθ－kcosθ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k2(sinθ－kcosθ)2－4(1＋3k2)[12(sinθ－kcosθ)2－3]＝0，化简得(3－4cos2θ)k2＋4sin2θ·k＋1－4sin2θ＝0，kPM·kPN＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.题型二探索性问题例2(2018·浙江重点中学考前热身联考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的动点S到椭圆E的右焦点F(1，0)的距离的最小值为－1.(1)求椭圆E的方程；(2)若过点F作与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的动点S到椭圆E的右焦点F(1，0)的距离的最小值为－1，所以得所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)在线段OF上存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线l与x轴不垂直，则可设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意知，Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，因为以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，所以|MP|＝|MQ|，所以(x1－m)2＋y＝(x2－m)2＋y，即(x1－m)2＋1－＝(x2－m)2＋1－，所以(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，则m＝，因为x1＋x2＝，所以m＝＝＝－(k≠0)，所以00)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？请说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为...
