高考数学一轮复习 第12章 选修4系列 第1讲 坐标系讲义 理（含解析）-人教版高三选修4数学教案VIP免费

第1讲坐标系[考纲解读]1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．2.了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点)3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容.预测2020年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换.题型为解答题，属中、低档题型.1．伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：□的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：1．概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.()(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为()A．y＝sin2xB．y＝3sinxC．y＝sinD．y＝3sin2x答案D解析由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.(2)在极坐标系中A，B两点间的距离为________．答案6解析解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.解法二： A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)，∴|AB|＝＝6.(3)曲线C1：θ＝与曲线C2：ρsin＝的交点坐标为________．答案解析将θ＝代入ρsin＝，得ρsin＝，所以ρ＝1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为.(4)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．答案解析由2ρsin＝得2ρ＝，ρsinθ－ρcosθ＝1，化为直角坐标方程得y－x＝1即x－y＋1＝0，点A的直角坐标为，即(2，－2)，所以点A到直线l的距离为＝.题型平面直角坐标系中的伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.解设伸缩变换为由题知＋＝1，即2x2＋2y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，得故所以伸缩变换为即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．见举例说明．提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′).若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．解由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.题型极坐标与直角坐标的互化(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公...