一、利用等差（等比）数列的定义在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列的首项，且，记．（Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）；（Ⅱ），所以，所以，猜想：是公比为的等比数列．证明如下：因为所以是首项为，公比为的等比数列．评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法
例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，，所以，又，所以，从而．故总有，又，从而．所以数列是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．二．运用等差或等比中项性质是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数．（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略．解：（1）由，得．把分别代入，得解得，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即，①又．②②-①得，，即．③又．④④-③得，，∴，∴，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，，且，．．由此可得．即．数列为等差数列．评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以
