苏教版选修2-2高中数学简单复合函数的导数教案VIP免费

简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导奎屯王新敞新疆情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用奎屯王新敞新疆教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解奎屯王新敞新疆教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：；；；奎屯王新敞新疆2.法则1．法则2,奎屯王新敞新疆法则3奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．2.求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得，用心爱心专心从而有对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.当Δu≠0时，由.且.∴即(当Δu＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数奎屯王新敞新疆5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴；⑵；⑶；⑷．解：⑴函数由函数和复合而成；⑵函数由函数和复合而成；⑶函数由函数和复合而成；⑷函数由函数、和复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴，；⑵，．解：⑴；⑵．例3求的导数．解：设，，则用心爱心专心．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu;u=x2∴=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的导数.分析:设u=sin(2x+)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+∴=y′u(u′v·v′x)∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即y′x=2sin(4x+)例6求的导数.解：令y=，u=ax2+bx+c∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=用心爱心专心即y′x=例7求y=的导数.解：令∴=()′u·()′x即y′x=－例8求y=sin2的导数.解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x=2u·cosv·=2sin·cos·=－·sin∴y′x=－sin例9求函数y=(2x2－3)的导数.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.用心爱心专心解：令y=uv，u=2x2－3，v=,令v=，ω=1+x2=(1+x2)′x=∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x=(2x2－3)′x·+(2x2－3)·=4x即y′x=奎屯王新敞新疆四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x－3∴=(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3(2)令y=u5，u=2...