浙江省奉化中学高中数学 第8课时 不等式的证明方法之比较法教案 新人教A版选修4-5VIP免费

第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：====∴∴讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设求证；对任意实数，恒有（1）证明考虑（1）式两边的差。＝＝（2）即（1）成立。三、小结：四、练习：五、作业：1．比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2．已知求证：（1）（2）3．若，求证4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)2(当且仅当d＝b时取等号)∴a4-b44a3(a-b)。5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．7．如果x>0，比较与的大小．8．已知a≠0，比较与的大小．9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。阅读材料：琴生不等式例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年给出了一个定义：设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。其推广形式，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，当且仅当时等号成立。若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。