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山东省冠县武训高级中学高二数学 7.1 直线的倾斜角和斜率同步辅导教材VIP免费

山东省冠县武训高级中学高二数学 7.1 直线的倾斜角和斜率同步辅导教材_第1页
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7.1直线的倾斜角和斜率一、本讲进度7.1直线的倾斜角和斜率课本第34页至第38页二、本讲主要内容1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念;2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念,能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。三、学习指导1、从本讲开始,同学们开始接触数学的一个重要的分支——《平面解析几何》。它的研究对象是平面几何中的图形,研究方法是通过代数的有关知识(方程组,不等式等)去解决平面图形的位置关系及几何性质,最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。通过建立平面直角坐标系,建立了平面图形的最基本元素——点与实数集中——对有序实数对(x,y)之间的一一对应关系。在此基础上,建立了图形与方程之间的一一对应关系,进而将形的问题等价转换为数的问题,如图形的几何性质转化为方程特征,图形之间位置关系转化为方程组的解,等等。例如,直线与二元一次方程之间的对应关系,由作函数图象的描点法可知,当某点的坐标满足函数解析式(横、纵坐为对应的原象与象)时,该点一定在该函数对应的图象上;尽管描点法指的是特殊点,实质上我们知道,该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想,用解析几何的语言可叙述为:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;同时,这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线的方程”,这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系,所以可简说成“直线y=kx+b”。上述概念体现了形与数互相转化的两个方面:①点直线上坐标满足方程;②有序数对是方程的解点在线上。2、用解析法研究几何问题的一般步骤是:①建立坐标系;②设出必需的点的坐标;③代数运算得到问题的代数解;④代数解回到几何解。在用代数方法求解过程中,除未知数x、y及已知量外,有时还需引入适当参数。3、倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。(1)已知倾斜角为α,求斜率k时α0(0,)()k0(0,+∞)不存在(-∞,0)(2)已知斜率k,求倾斜角α时法一:k≥0时,α=arctankk<0时,α=π+arctank法二:k=0时,α=0k≠0时,α=arccot4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。由教材P36方向向量的定义,的方向向量为λ(λ∈R),其中一个特殊的方向向量为(1,k),k为直线P1P2斜率,它在后面研究直线位置关系时仍会用到。四、典型例题例1、试用解析法证明:△ABC中,M为BC中点,则AB2+AC2=2(AM2+MC)2。解题思路分析:第一步是建立适当的坐标系,所谓适当,是指借助于图形的对称性,或使尽可能多的点在坐标轴上,或尽可能将图形置于第一象限,等等。就本题来讲,可以如图建立坐标系,也可以把点M作为原点,BC所在直线为x轴等。第二步是设出必要的已知量。本题△ABC确定,可设B(0,0),C(a,0),A(b,c),同时确定与已知量相1关的量,如本题M(,0)。第三步是借助于代数运算解决几何问题,利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。|AB|2=b2+c2,|AC|2=(b-a)2+c2∴|AB|2+|AC|2=a2+2b2+2C2-2ab|AN|2=(b-)2+c2,|MC|2=(a-)2=∴2(|AM|2+|MC|2)=2(b2+c2+)=a2+2b2+2c2-2ab∴|AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2)最后写出原命题需证的结论:AB2+AC2=2(AM2+MC2)注:本题结论是很有用的一个结论,同学们最好能够记住它。若不用解析法,这道题该怎么解,请同学们思考。例2、已知M(-4,2),N(2,15),若直线的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半,求直线斜率。解题思路分析:思路一:直接法思路。按照题目的逻辑关系,应先求出MN的倾斜角,再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。设直线MN倾斜角为α,则tanα==2 tanα>0∴α∈(0,)∴sinα=,cosα=则直线α倾斜角为∴tan∴思路二:间接法思路,即利用解方程思想,设直线α倾斜角为α,则直线MN倾斜角为2α。下找关于tanα的等量关系。 tan2α=kMN=2∴=2∴tanα+tanα-1=0∴tanα= 2α∈[0,π)∴α∈[0,∴tanα=2例3、已知P(3,-1),M(6,2),N(-),直线过点P,求满足下列条件的的倾斜角范围。(1)直线与线段MN相交;(2...

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