【创新设计】-学年高中数学1.2.2全称量词和存在量词活页训练湘教版选修1-11．给出下列几个命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为()．A．1B．2C．3D．0解析命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．答案B2．“a2＋b2≠0”的含义是()．A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0解析a2＋b2≠0的含义为a为0且b不为0，或a不为0且b为0，或a、b都不为0.所以选A.答案A3．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1＜0B．∀x∈R，|x|＞0C．∀x，y∈Z，2x－5y≠12D．∃x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案A4．要说明命题“∀x∈M，p(x)”成立是假命题，只需说明________________．解析判断含有全称量词的命题为假命题只需举一反例．答案∃x∈M，綈p(x)5．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数，________．(2)实数的绝对值不小于0，________．(3)存在一实数x，使x3＋1＝0，________．答案(1)∀x∈Z，x∈Q(2)∀x∈R，|x|≥0(3)∃x∈R，x3＋1＝06．设语句q(x)：sin＝cosx.(1)写出q，并判断它是否是真命题；(2)写出“任意的α∈R，q(α)”，并判定它是否是真命题．解(1)q：sin＝cos，即sin0＝cos是真命题．(2)对任意的α∈R，sin＝cosα，∵当α＝0时，sin＝－1，而cos0＝1，sin≠cos∴0，“∴对任意的α∈R，q(α)”是假命题．7．已知命题p：∃n∈N，2n>1000，则綈p为()．A．∀n∈N，2n≤1000B．∀n∈N，2n>1000C．∃n∈N，2n≤1000D．∃n∈N，2n<1000答案A8．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D9．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋5＝0”的否定为________，它是________命题．答案∀x∈R，x2＋2x＋5≠0真10．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案③④11．是否存在实数a，使得关于x的方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，如存在，求出a的范围．解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1，∴a＝2－.又－1≤sinx≤1，∴－≤2－≤3.故当－≤a≤3时，方程a＝2－有实数解，所以，存在实数a，实数a的取值范围是.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
