高中总复习第一轮数学 第二章 2.5 反函数教案 新人教A版VIP免费

2.5反函数巩固·夯实基础一、自主梳理1.反函数定义：若函数y=f(x)(x∈A)的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y).在函数x=f-1(y)中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x、y，把它改写成y=f-1(x).2.互为反函数的两个函数图象间关系y=f(x)与y=f-1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤(1)解关于x的方程y=f(x),得到x=f-1(y);(2)把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f-1(x);(3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f(x)的值域〕.二、点击双基1．y=(1≤x≤2)的反函数是()A.y=1+(-1≤x≤1)B.y=1+(0≤x≤1)C.y=1-(-1≤x≤1)D.y=1-(0≤x≤1)解析：y2=-(x-1)2+1,(x-1)2=1-y2,x-1=,即y=1+(0≤x≤1).答案：B2．若函数f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,则f(1)的值为()A.4B.-4C.1D.-1解析:令2x+1=1x=-1,∴f(1)=-1.故选D.答案:D3．已知函数f(x)的反函数是f-1(x)=logm+1(+m)(m>0),则方程f(x)=2006的解集为()A.{-1}B.{-1,1}C.{1}D.答案:由反函数的概念知f-1(2006)=logm+1(+m)=1.所以方程f(x)=2006的解集为{1}.故选C.答案:C4．函数f(x)=-x2(x∈(-∞,-2))的反函数f-1(x)=________________.解析:y=-x2(x≤-2),y≤-4,∴x=-.x、y互换,∴f-1(x)=-(x≤-4).答案:-(x≤-4)用心爱心专心15．已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=logsinθ(-cos2θ)，其中0<θ<，则方程f(x)=2006的解是_________.解析:由题意得f-1(2006)=logsinθ(-cos2θ)=logsinθ(1-cos2θ)=logsinθsin2θ=2.答案:x=2诱思·实例点拨【例1】设f-1(x)是函数f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为()A.(,+∞)B.(-∞,)C.(,a)D.［a,+∞］解法一:求得f-1(x)=loga(x+)(a>1).由f-1(x)>1得loga(x+)>logaa,∴x+>a,解得x>.解法二:∵a>1,∴f(x)=(ax-a-x)为增函数.根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系,f-1(x)>1,即在f(x)中,在x>1的条件下,求f(x)的范围.∴f(x)>f(1)=(a-a-1)=.答案:A讲评:解析一为常规解法,即求出反函数解析式.解法二巧妙地利用函数与反函数的定义域、值域的关系以及函数的单调性,可以起到事半功倍的作用.【例2】求函数f(x)=的反函数.解:当x≤-1时，y=x2+1≥2，且有x=-,此时反函数为y=-(x≥2).当x＞-1时，y=-x+1＜2，且有x=-y+1,此时反函数为y=-x+1(x＜2=.∴f(x)的反函数f-1(x)=.讲评:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】(1)已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求a的值.(2)已知f(x)=,求f-1().解:(1)由函数y=ax+b的图象过点A(1,4),得a+b=4.①由y=ax+b的反函数的图象过点(2,0),则原来的函数图象过点(0,2),所以a0+b=2.②解①②,得a=3,b=1.用心爱心专心2(2)由=,得2-2·2x=1+2x,所以3·2x=1.所以2x=.所以x=log2,即f-1()=log2.链接·提示(1)若点M(a,b)在原函数y=f(x)的图象上,那么点M′(b,a)在反函数y=f-1(x)的图象上.(2)f(a)=bf-1(b)=a.用心爱心专心3