高中数学 1-4-1～2(一)空间图形的公理活页训练 北师大版必修2VIP免费

1-4-1～2(一)空间图形的公理1．给出以下四个命题：①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；④三角形是平面图形．其中正确命题的个数为()．A．1B．2C．3D．4解析只有④正确．答案A2．两平面重合的条件是()．A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线解析根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．答案C3．若α∩β＝c，aα，bβ，a∩b＝M，则()．A．M∈cB．M∉cC．MαD．M⃘α解析由a∩b＝M，可得M∈α，M∈β，又α∩β＝c，故M∈c.答案A4．如图所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．解析因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．答案无数5．图中图形的画法不正确的是________．①点A在平面α内②直线l在平面α内③直线l交平面α于点P解析①③⑤正确，②直线l应画在表示平面的平行四边形内，④应画出α与β的交线．答案②④6．三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．证明∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.∴a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P.∵P∈a，aβ，∴P∈β.同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c，∴a、b、c相交于一点P.即a、b、c三条直线过同一点．7．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A.答案A8．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩GH＝P，则点P()．A．一定在直线BD上B．在直线AC或BD上C．一定在直线AC上D．不在直线AC上也不在直线BD上解析因为EF∩GH＝P，EF平面ABC，所以P∈平面ABC.又因为GH平面ACD，所以P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.答案C9．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是________．解析设这4条直线分别为a，b，c，d，由题意知这4条直线中的每两条都确定一个平面，因此，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d都分别确定一个平面，共6个平面．答案610．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有________对．解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH.答案311．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．12．(创新拓展)在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图所示．(1)求证：D、B、F、E四点共面；(2)确定出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．证明(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BDα，故P∈α.又P∈AC，而ACβ，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1Cβ，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点就是所求的交点R的位置．