充分条件和必要条件（2）教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.教学重点：命题条件的充要性的正确判断．教学难点：充分性与必要性的推导证明．教学过程一．问题情境1．情境：一般地，如果已知，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件二．学生活动练习：⑴“”是“”的充分不必要条件．⑵若a、b都是实数，从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使不都为0的充分条件是①②⑤．三．建构数学1．充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”.⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.、⑷充要性包含：充分性，必要性这两个方面，缺一不可。四．数学运用1．例题：例1．若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？用心爱心专心分析：命题的充分必要性具有传递性解：由题意可知：显然M是Q的充分不必要条件例2．求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化解：由题可知等价于例3．p：；q：．若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件于是有例4．求证实系数一元二次方程有两个异号根的充要条件是分析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）充分性:∵∴方程的∴方程有两个不相等的实根，设其为∵∴方程有两个异号实根（2）必要性∵方程有两个异号实根，设其为∴∵∴由（1）（2）原命题得证。说明：注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：用心爱心专心(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.例5．证明：对于x、yR，是的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件证明：必要性：对于x、yR，如果则，即故是的必要条件不充分性：对于x、yR，如果，如，，此时故是的不充分条件综上所述：对于x、yR，是的必要不充分条件．2．练习：（1）“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（2）“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知；不都是，是的什么条件？（4）已知p：或；q：或，则是的什么条件？五．回顾小结：1．“充要条件”的判定方法；2．理解充要条件的含义并解决有关问题．六．课外作业：课本复习题第8题补充：1．已知全集,当为何值时，①是的充分而不必要条件；②是的必要而不充分条件；③是的充要条件.2.已知，求证：的充要条件是：．用心爱心专心用心爱心专心
