山东省冠县武训高级中学高二数学 7.6曲线和方程同步辅导教材VIP免费

7．6曲线和方程一、本讲进度7．6曲线和方程课本第67页至72页二、本讲主要内容1、理解概念“曲线的方程”和“方程的曲线”。2、掌握求轨迹方程的步骤和方法。3、会求两条曲线交点；理解两曲线交点的代数意义。三、学习指导1、理解曲线和方程的对应关系，可从函数图象描点法的角度进行。不是任意的曲线和方程都可以建立对应关系。平面上曲线C和二元方程F(x，y)=0若互相对应，则必须满足课本第68页两个条件，条件（1）称为纯粹性，它强调的是曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；条件（2）称为完备性，它强调的是符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏。从集合角度理解，若记集合A={P|P为平面曲线C上任一点}，集合B={(x，y)|F(x，y)=0}，在坐标系这个工具之下，纯粹性、完备性分别指的是：AB，且BA，从而A=B。从定义的性质看，若曲线C与二元方程F(x，y)=0建立了对应关系，则纯粹性强调的是从形到数：（1）点P∈C，P(x0，y0)F(x0，y0)=0；（2）完备性强调的是从数到形：F(x0，y0)=0点(x0，y0)在曲线C上。2、正因为曲线和方程之间存在对应关系，所以在坐标系这个工具之下，总可以求出某条曲线C对应的方程。这正是解析几何的基本问题之一。从运动的角度看，既然平面内的点与作为它的坐标的有序数对之间建立了一一对应关系，那么它在某种条件下运动形成轨迹C时，其对应的坐标也应当满足某个制约关系式：F(x，y)=0，所以曲线C对应的方程又称为轨迹方程。求轨迹方程的方法一般有：直译法、转移法（代入法）、参数法、几何法。在学习一些基本轨迹之后，还会涉及到定义法、待定系数法。求轨迹方程中的注意点：（1）在设出动点坐标后，应视其为已知量，从而用它去表示其它量，寻找等量关系；（2）求轨迹方程的关键寻找适当的等量关系，这个等量关系可能不直接与动点有关；（3）对原始轨迹方程的化简要同解。一般情况下，纯粹性是满足的，关键是检验完备性。3、直线y=kx+b与二次曲线相交时弦长公式：或其中，a是直线方程代入二次曲线方程消元后关于x的一元二次方程的二次项系数，△x为其判别式。a’是直线方程代入二次曲线方程消元后关于y的一元二次方程的二次项系数，△y为其判别式。四、典型例题例1、曲线C的方程为(3x-4y-12)lg(x+2y+1)=0，试判断点A(0，-3)，B(0，4)，C(4，0)，D(1，)是否在曲线C上。解题思路分析：将点A、B、C、D的坐标代入方程，检验是否满足方程，若满足，则对应的点在曲线C上；若不满足，则对应点不在曲线C上。也可将曲线C的方程先化简为：（1）x+2y=0，或（2）。代入点A(0，-3)，不满足x+2y+1>0，点A不在曲线C上；代入点B(0，4)，不满足x+2y=0，或3x-4y-12=0，点B不在曲线C上；代入点C(4，0)，满足（2），点C在曲线C上；同理，点D在曲线C上。例2、已知两点M(1，)，N(-4，)，给出下列方程：①4x+2y-1=0，②x2+y2=3，③=1，④-y2=1在曲线存在点P，满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A、①③B、②④C、①②③D、②③④1解题思路分析：先找到满足|MP|=|NP|的点P轨迹，即为线段MN中垂线，其方程为2x+y+3=0。其次，因所求点P既在直线2x+y+3=0上，又①②③④中的某支曲线上，故点P存在性转化为直线2x+y+3=0与①②③④的方程联立后，方程组是否有解。直线2x+y+3=0与①表示的直线平行，故曲线上不存在点P；由得：5x2+12x+6=0，△1=144-120=24>0∴曲线②上存在点P；由得：9x2+24x+16=0，△2=0，曲线③上存在点P；由得：7x2+24x+20=0，△3>0，曲线④上存在点P。综上所述，选D。注：本题将求点P存在的问题转化为两支曲线是否有公共点的问题，是一种典型的求点的方法。由条件|MP|=|NP|得到点P轨迹，是轨迹思想的重要运用，同学们应学会将点放在曲线上（即元素属于某个集合）这种重要的思考方法。例3、已知△ABC的边BC=2，∠B=2∠A，求顶点C的轨迹方程。解题思路分析：第一步，建立适当的坐标系，如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系；第二步，设点，包括动点C(x，y)及已知的基本点A(-1，0)，B(1，0);第三步，找几何等式由∠B=2∠A得：tanB=tan2A，即tanB=；第四步，第几何等式坐标化由正切联系斜率，再联系斜率的坐标公式tanA=，tanB=-kBC=∴第五步，化简上述...