山东省冠县武训高级中学高二数学 7.3 两条直线的位置关系同步辅导教材VIP免费

7.3两条直线的位置关系一、本讲进度7.3两条直线的位置关系课本第45页至第54页二、本讲主要内容1、两条直线位置关系的判断2、两条相交直线和夹角及两条平行直线之间的距离的计算三、学习指导1、通过前面的学习，同学们知道，平面几何中的直线（形）与代数中的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不全为0，下同）（数）之间建立了一一对应的关系，实际上，直线就是由数组（A、B、C）确定。因此，直线与直线之间的位置关系可由它们对应的数组之间的关系来确定。2、从定性的角度分析，两条直线的位置关系有平行、相交、重合。三种位置关系的判断可由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断。不妨设直线1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)，直线2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）联立两条直线方程不失一般性，设A1≠0，A2≠0①×A2-②×A1得(B1A2-B2A1)y=A1C2-A2C1③下对此一元一次型方程的解进行讨论：当B1A2-B2A1≠0时，方程③有唯一解，原方程组有唯一解。即≠时，直线1与2相交；当时，方程③无解，原方程组无解。即时，直线1与2平行。当时，方程③的解为一切实数，原方程组有无数个解，即时，直线1与2重合。教材是从斜截式的方程推导出两直线平行的条件，这是因为：（1）斜截式的几何特征比较明显，（2）斜截式就是初中所学的一次函数的解析式，同学们比较容易接受。上面的结论是从直线方程的一般式推导出来的，偏重于方程的知识，体现了第一部分的指导思想。3、从定量的角度，本小节研究了两个方面的问题：（1）在两条直线平行的位置关系下，度量它们之间的距离。在点到直线距离公式的基础上，进一步可导出两平行线之间的距离公式，设1：Ax+By+C1=0,，2：Ax+By+C2=0，则1与2之间距离。（2）在两条直线相交的情况下，度量它们所成的角的大小。若两条直线的位置确定，则选用倒角公式；否则选用夹角公式。4、一般方程形式下的几种直线系：（1）与Ax+By+C=0平行的直线系：Ax+By+m=0（2）与Ax+By+C=0垂直的直线系：Bx-Ay+n=0（3）过两条直线1：A1x+B1y+C1=0与直线2：A2x+B2y+C2=0的直线系：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R。此直线系不包括直线2，若要包含2，可将直线系方程写成λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0（λ1、λ2∈R）。1四、典型例题例1、当实数m为何值时，三条直线1：3x+my-1=0，2：3x-2y-5=0，3：6x+y-5=0不能围成三角形。解题思路分析：本题的关键是1、2、3不能围成三角形时，它们之间有多少种位置关系。可借助于逻辑知识进行分析。1、2、3能围成三角形的充要条件是三条直线两两相交且不过同一点，其否定是三条直线不两两相交或均过同一点，即包含两种情形：（1）三条直线中至少有两条互相平行；（2）三条直线过同一点。记1、2、3三条直线的斜率分别为k1、k2、k3，则k2=，k3=-6。在第一种情形中只可能1∥2，1∥3，k1=，k1=-6解之得m=-2或m=由得，1与3交于点（1，-1），将（1，-1）代入3x+my-1=0，得第二种情形下m的值：m=2∴当m=±2，或时，1、2、3不能围成三角形例2、求过点（2，3），与坐标轴围成的三角形面积为2a，且满足下列条件的直线方程：（1）平行于直线ax+4y+6=0（2）垂直于直线ax+4y+6=0解题思路分析：（1）设所求直线方程ax+4y+C1=0令x=0，y=-；令y=0，x=-∴∴C12=16a2∴C1=±4a①又（2，3）在直线ax+4y+C1=0上∴2a+12+C1=0②(1)(2)联立或∴（舍）或∴所求直线方程为3x+2y-12=0（2）设所求直线方程为4x-ay+C2=0令x=0，y=；令y=0，x=-∴∴C2=±4a③又8-3a+C2=0④③④联立解得（舍）或∴所求直线方程为7x-2y-8=0注：本题也可在找出斜率关系的基础上，用点斜式方程求解。例3、已知两定点A（2，5），B（-2，1），M和N是过原点的直线上两个动点，且|MN|=，∥AB，若直线AM和BN交点C在y轴上，求M、N及C坐标。2解题思路分析：本题用解方程的思想求点M、N的坐标，关键是寻找适当的等量关系。思路一：由直线BN与AM在y轴上的截距相等找等量关系，下求直线BN和AM方程。 kAB=1∴k=1∴可设M（a，a），N（b，b）由|MN|=得|a-b|=2①直线AM：y-5=，令x=0，y=直线BN：y-1=，令x=0，y=令...