椭圆中的一组“定值”命题圆锥曲线中的有关“定值”问题,是高考命题的一个热点,也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中,以椭圆为载体,探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题,当然属于瀚宇之探微,现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助,也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中,能够利用类比的方法,探索总结出相关的结论。命题1经过原点的直线与椭圆相交于M、N两点,P是椭圆上的动点,直线PM、PN的斜率都存在,则为定值.证明:设,,,则(*),而点P、M均在椭圆上,故,,代入(*)便可得到.练习:已知A、B分别是椭圆的左右两个顶点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,则.(答案:).命题2设A、B、C是椭圆上的三个不同点,B、C关于轴对称,直线AB、AC分别与轴交于M、N两点,则为定值.证明:设,,,则直线AB的方程为,令得M点的横坐标,同理可得N点的横坐标,于是,由于,因此有.练习:设分别是椭圆的上下两个顶点,P是椭圆上异于的动点,直线分别交轴于M、N两点,则.(答案:25).命题3过椭圆上一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点,则直线MN的斜率为定值.证明:设直线PM的方程为,则直线PN的方程为,联立和组成方程组,消去y可得.设,则,可得,同理可得,则,,于是,故直线MN的斜率为.练习:已知椭圆,过点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线,分别交椭圆于P、Q两点,则直线PQ的斜率为.(答案:).命题4分别过椭圆上两点作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点,则直线MN的斜率为定值.证明:设直线PM的方程为,联立和组成方程组,消去y可得.设,则,可得,同理可得,则,,于是有.因为点P、Q都在椭圆上,所以,,两式相减可得,同理可得,令①,②,则,将①、②代入便有,即直线MN的斜率为定值.练习:分别过椭圆上两点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线,交椭圆于另外两点P、Q,则直线PQ的斜率为.(答案:).