数学文化中学数学文摘2006年第4期数学史上的著名猜想之（二）—―被证明了的数学猜想过伯祥（1）没能找到“费尔马的绝妙证明”我国早在商周时代（约公元前1100年）就已经知道了不定方程：至少有一组正整数解：.古希腊数学家丢番图已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整数.费尔马是一位博览群书见多识广的学者，他将其一生中的全部精力都花费在钻研数学和物理问题上了.1621年费尔马买到了丢番图著的《算术》一书，对于书中的数论问题产生了浓厚的兴趣.闲余之时，对希腊数学家的一些问题进行研究和推广.当他读到第II卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数的和”时，他想到了更一般的问题。研讨之后，费尔马在页边空白处写下了如下的一段话：“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般将一个次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的.关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下.”这段叙述用现代数学语言来说，就是：“当整数时，方程没有正整数解.”这就是费尔马猜想，中国人通称为费尔马大定理.费尔马死后，他儿子整理了他的全部遗稿和书信，始终也没有找到那个“绝妙的证明”.于是，这个猜想的正确与否，就成了一桩数学疑案.由于找不到费尔马的“证明”，也由于著名数学家欲给出它的证明的企图一次次受挫，才激发起了历代数学家对费尔马猜想的极大兴趣.300多年来，不知有多少人为它绞尽了脑汁，也曾经有过多次悬赏征解，奖给能够证明它的人：法国科学院曾经两次悬赏；布鲁塞尔科学院也曾以重金悬赏；1908年德国数学家佛尔夫斯克尔遗言，悬赏10万马克巨款，奖给第一个证明费尔马大定理的人，这项奖金的限期为35始终没能找到费尔马的“绝妙证明”试证又一次次受挫，命题就成为著名的费尔马大定理三次悬赏征解.这是一只会生金蛋的母鸡1995年终于被英国数学家维尔斯彻底攻克，1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫奖数学文化中学数学文摘2006年第4期100年.（2）这是一只会生金蛋的母鸡很多著名数学家，如欧拉、狄里赫莱、拉梅、库默尔、法尔廷斯等都做了很多有重要意义的工作.他们的工作不仅使费尔马问题取得了一定的进展，而且他们所创造的方法也推动了数学的发展.然而所有这些工作只是对于某些个别的或满足某些条件的证明了费尔马大定理.1995年5月，当代最权威的数学杂志普林斯顿《数学年刊》，一整期发表了震惊世界数学界的两篇论文，宣告：困扰数学界长达350多年，“比哥德巴赫猜想更有名气”的数学难题，费尔马大定理.终于被英国数学家安德鲁·维尔斯（AndrewWiles）所证明.舆论认为，这确是近代数学发展中的一个巨大里程碑.希尔伯特曾认为，猜想、问题的价值，“最终的判断取决于科学从该问题获得的收益”.当年的希尔伯特就曾断言，解决费尔马大定理的过程中将能给数学发展创造许多新途径.费尔马猜想是“一只经常为我们生出金蛋的母鸡”.在人类解决费尔马大定理的漫长历程中，先后作出重大贡献的数学家法尔廷斯、谷山、费雷、维尔斯等人的伟大实践证明了这一点，他们都用了当代许多名家的思想、结果和技巧.特别是维尔斯的工作，无疑是一项意义深远的贡献，它将会给纯数学中的许多重要问题的解决带来曙光.这段历史发展也可画成如下的简明框图：（3）素数个数的猜想一眼可以看出，开头一些素数2,3,5,7,11,13,17,19,组成的序列，不符合任何一种简单规律。序列的构造是非常复杂的.还在欧几里得出生以前，人们已开始思考素数序列最后是否有终结的问题.有数学家提出了“素数个数是无限的”猜想.好的猜想犹如一个合适的引路人，人们在解决素数个数的猜想及其推广的过程中，发现与36数学文化中学数学文摘2006年第4期创造了一些巧妙的新方法，为当时数学的发展带来了大推动.欧几里得在《几何原本》中为解决这个猜想设计了一个绝妙的证明.它不是去求任一已知素数后面紧跟的那个素数（那将是万分困难的），而是用某一个大得多的素数去代替后面的下一个素数：令为任一素数，作出由2到的全部素数的乘积再加1，写成显然，素数2,3,5,,中没有一个可以整除.这样，或者本身是素数（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,...
