第4讲数列求和一、选择题1．(·改编题)数列{an}满足an＝1－an－1(n∈N，n>1)，且a2＝2，Sn是{an}的前n项和，则S2011＝()A．1002B．1003C．1004D．1005解析：由an＝1－an－1得an－1＋an＝1，a1＝1－a2＝－1，S2011＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)…＋＋(a2008＋a2009)＋(2010＋2011)＝－1＋1005＝1004.答案：C2．数列1，2，3，4…，的前n项和为()A.(n2＋n＋2)－B.n(n＋1)＋1－C.(n2－n＋2)－D.n(n＋1)＋2解析：∵an＝n＋，∴Sn＝1＋2…＋＋n＝(1＋2＋3…＋＋n)＋，∴Sn＝＋＝n(n＋1)＋1－＝(n2＋n＋2)－.答案：A3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为()A．11B．99C．120D．121解析：∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.答案：C4．(·安徽铜陵模拟)数列1…，，，，的前n项和Sn等于()A.B.C.D.解析：an＝＝2，所以Sn＝2＝2＝.答案：B二、填空题5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1(3n－2)，则前100项之和S100等于________．解析：并项求和a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6…＝＝a99＋a100＝－3∴S100＝－3×50＝－150.答案：－1506．数列5,55,555…，的前n项和为________．解析：an＝＝(10n－1)，∴Sn＝(10＋102…＋＋10n－n)＝＝(10n＋1－10)－n＝(10n－1)－n.答案：(10n－1)－n7．已知f(x)＝，求f＋f…＋＋f＝________.解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1.所以f＋f＝f＋f…＝＝f＋f＝1.∴f＋f…＋＋f＝5.答案：5三、解答题8．已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得方程组.解得a1＝5，d＝4，所以{an}的通项公式为an＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1，得bn＝24n＋1，所以{bn}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．于是得{bn}的前n项和Sn＝＝.9．(·海南三亚模拟)已知数列{an}满足a1＋a2…＋＋an＝n3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)…求＋＋＋的值．解：(1)当n≥2时，由a1＋a2…＋＋an－1＋an＝n3，a1＋a2…＋＋an－1＝(n－1)3，两式相减，得an＝3n2－3n＋1，n＝2,3,4…，当n＝1时，有a1＝13＝1，满足上述公式．故数列{an}的通项公式为an＝3n2－3n＋1.(2)∵＝＝，n＝2,3,4…∴…＋＋＋…＝＋＋＋＝＝.10．(·广东惠州调研)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上．(1)求c，an；(2)若kn＝，求数列{kn}前n项和Tn.解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c，a1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3.a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，∴c＝0，d＝3－1＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn…＝＋＋＋＋＋①Tn…＝＋＋＋＋＋②①－②得：Tn＝＋2－＝＋2×－＝－∴Tn＝3－.1．(·创新题)有限数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若把称为数列{an}“”的优化和，现有一个共2009项的数列：a1，a2，a3…，，a2009“”，若其优化和为2010，则有2010项的数列：1，a1，a2，a3…，，a2009的优化和为________．解析：依题意，＝2010，∴S1＋S2…＋＋S2009＝2009×2010.又数列1，a1，a2…，，a2009相当于在数列a1，a2…，，a2009前加一项1，∴其优化和为＝＝2010.答案：20102．(★★★★)Sn＝1－22＋32－42…＋＋(－1)n－1·n2＝________.解析：当n是偶数时：Sn＝(12－22)＋(32－42)…＋＋[(n－1)2－n2]＝－(1＋2＋3＋4…＋＋n)＝－.当n是奇数时：Sn＝12＋(－22＋32)＋(－42＋52)…＋＋[－(n－1)2＋n2]＝1＋2＋3＋4＋5…＋＋n＝，或Sn＝Sn－1＋(－1)n－1·n2＝Sn－1＋n2＝＋n2＝.综上，Sn＝(－1)n－1·.答案：(－1)n－1·
