第5讲数列的综合应用一、选择题1．(·重庆卷)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A.＋B.＋C.＋D．n2＋n解析：由题意知设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又 a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋.答案：A2．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A.B.C.D.或解析：由题意可知：a3＝a1＋a2，∴q2＝1＋q，解得：q＝或q＝(舍去)．答案：B3．(·山东济宁模拟)已知数列{an}是首项为a1的等比数列，则能保证4a1，a5，－2a3成等差数列的公比q的个数为()A．0B．1C．2D．3解析： 4a1，a5，－2a3成等差数列，∴2a5＝4a1＋(－2a3)．设数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2，∴2a1q4＝4a1－2a1q2. a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1.答案：C4．(·陕西卷)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于()A.B.C.D．1解析：f′(x)＝(n＋1)xn，f(x)在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，则切线方程：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，∴切线与x轴交点横坐标xn＝，∴x1·x2·…·xn＝××…×＝.答案：B二、填空题5．(·江苏南京调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．解析：根据已知条件4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1·q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，整理得：3q2－q＝0，又q≠0.∴q＝.答案：6．(·浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，成等比数列．解析：根据类比原理知该两空顺序应填，.答案：7．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……………则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．解析：1＋2＋3＋…＋19＋10＝＋10＝200.所以此数阵中第20行从左到右的第10个数是a200，又 a3＝7，a6＝16，可求得：d＝3，a1＝1，∴a200＝1＋199×3＝598.答案：598三、解答题8．(·辽宁卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3.故a1＝4.从而Sn＝＝.9．某市年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在年应该投入的电力型公交车为a7＝a1q6＝128×1.56＝1458(辆)．(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，依据题意，得>⇒Sn>5000.于是Sn＝>5000，即1.5n>.经验证，n≥8.∴到年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.10．(·模拟精选)已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝2x，x∈R，数列{an}、{bn}满足条件：a1＝1，an＋1＝g(an)＋1(n∈N*)，bn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn，并求使得Tn>对任意n∈N*都成立的最大正整数m.解：(1)由题意an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． a1＝1，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.(2) bn＝＝，∴Tn＝＝＝＝. ＝·＝>1，∴Tn，∴m<10. m∈N＋，∴m＝9.1．(★★★★)下面给出一个“直角三角形数阵”：，，，…满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于()A.B.C.D．1解析：由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为＋(8－1)×＝2，a83＝2×2＝.答案：C2．(·创新题)在数列{an}中，n∈N*，若...
