高三数学一轮复习 2.3 函数的单调性随堂练习新人教A版VIP免费

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2024-09-29 发布于山西
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第3讲函数的单调性一、选择题1．f(x)在(0∞，＋)上是减函数，则f(a2－a＋1)与f的大小关系是()A．f(a2－a＋1)≤fB．f(a2－a＋1)≥fC．f(a2－a＋1)0，∴f(a2－a＋1)≤f.答案：A2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]解析： f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为x＝a，函数在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又 g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，∴a>0.答案：D3．(·广东中山质检)已知函数f(x)＝是(∞∞－，＋)上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]解析：依题意得解得01，∴函数f(x)的单调减区间为.答案：A二、填空题5．(·创新题)老师给出一个函数y＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)；乙：在(∞－，0]上，函数f(x)单调递减；丙：在(0∞，＋)上，函数f(x)单调递增；丁：f(0)不是函数f(x)的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，则函数f(x)的解析式可能是________．解析：甲的话的含义即为：函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．数形结合，不难发现：甲的话与丙的话相矛盾(在对称轴的两侧，函数的单调性相反)．“”“”因此，我们只需找出满足甲、乙、丁或乙、丙、丁的函数即可．“”如果希望找到满足甲、乙、丁的函数，则需要认识到：所谓函数f(x)在区间(∞－，0]上单调递减，并不是说函数f(x)的单调递减区间是(∞－，0]．考虑到甲的话，我们不妨构造函数，使之在(∞－，1]上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁的话．于是可令f(x)＝(x－1)2.“”如果希望找到满足乙、丙、丁的函数，则分段函数是必然的选择．可令f(x)＝答案：f(x)＝(x－1)2或f(x)＝(答案不唯一)6．(·模拟精选题)已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)x2－x1；④>f.其中正确结论的序号是________．解析：函数f(x)=1-x∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为,即f(x)在x∈[0,1]上是单调递减函数，结合图象可知，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为>1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足，所以命题④正确．答案：②④三、解答题8．已知函数y＝f(x)在(0∞，＋)上为增函数且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0∞，＋)上的单调性并证明．解：F(x)在(0∞，＋)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0∞，＋)且Δx＝x2－x1>0， F(x2)－F(x1)＝－＝， y＝f(x)在(0∞，＋)上为增函数且Δx＝x2－x1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x1)－f(x2)<0.而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x2)－F(x1)<0，∴F(x)在(0∞，＋)上为减函数．9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0∞，＋)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．证明：(1)方法一：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0. f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0∞，＋)上是增函数．方法二： f(x)＝－，∴f′(x)′＝＝>0，∴f(x)在(0∞，＋)上为增函数．(2)解： f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，∴f＝，f(2)＝2，∴a＝.10．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．证明：(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)又 x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)

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