第3课时三角函数的周期性、三角函数的图象与性质一、填空题1．(扬州市高三期末调研测试)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期是________．解析： f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.答案：π2．函数y＝3sin，x∈[0，π]的单调递减区间________．解析：由2kπ≤＋2x≤＋2kπ＋，得kπ≤＋x≤kπ＋(k∈Z)．由x∈[0，π]得0≤kπ＋且kπ≤＋π≤，于是－k≤， k∈Z，∴k＝0，∴y＝3sin在[0，π]上的单调递减区间为.答案：3．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝a时有最小值，当sinx＝1时有最大值，则a的取值范围是________．解析： 函数y＝(sinx－a)2＋1当sinx＝a时有最小值，∴－1≤a≤1， 当sinx＝1时有最大值，∴a≤0，∴－1≤a≤0.答案：－1≤a≤04．(苏北四市高三第二次联考)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________．≥解析：由题意得，∴0＜ω≤，则ω的最大值为.答案：5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标保持不变，得到图象C，则图象C所对应的函数g(x)的单调递减区间为________．解析：将函数y＝cos2x的图象向右平移，所得图象对应的函数解析式为y＝cos2(x－)，即y＝cos，再将其所对应的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标保持不变，得到的图象C所对应的函数解析式为y＝cos，即g(x)＝cos.再由2kπ≤≤－2kπ＋π(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)，故得所求函数g(x)的单调减区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)6．已知函数y＝2cosx(0≤x≤1000π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的图形的面积是________．解析：如图，y＝2cosx的图象在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，所以在[0，1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝π.答案：π7．(南通市调研考试)函数f(x)＝的值域为________．解析：设t＝2sinx＋3∈[1,5]，则sinx＝，f(x)＝g(t)＝＝－＋＝2－，所以当t＝4时，g(t)取得最小值－；当t＝1时，g(t)取得最大值5.答案：二、解答题8．(苏州市高三教学调研测试)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)已知f(α)＝3，且α∈(0，π)，求α的值．解：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin＋2，由－＋2kπ≤2x≤＋＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)由f(α)＝3，得2sin＋2＝3.∴sin＝. 0＜α＜π，∴<2α＋<2π＋，∴2α＋＝π，∴α＝.9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，设函数f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R)．(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为5，求m的值．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋2m－1＝sin2x＋cos2x＋2m＝2sin＋2m，令－＋2kπ≤2x≤＋＋2kπ(k∈Z)，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2) x∈，∴2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值2m－1.∴2m－1＝5，∴m＝3.10．(·金陵中学上学期期中卷)已知f(x)＝4msinx－cos2x(x∈R)．(1)若m＝0，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的最大值为3，求实数m的值．解：(1)当m＝0时，f(x)＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．因此f(x)＝－cos2x的单调增区间为(k∈Z)．(2)f(x)＝4msinx－cos2x＝2sin2x＋4msinx－1＝2(sinx＋m)2－(2m2＋1)令t＝sinx，则g(t)＝2(t＋m)2－(2m2＋1)(－1≤t≤1)．①若－m≤0，则在t＝1时，g(t)取最大值1＋4m.由，得m＝；②若－m>0，则在t＝－1时，g(t)取最大值1－4m.由，得m＝－.综上，m＝±.1．(·扬州中学上学期期中卷)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点.(1)求实数m的值；(2)求f(x)的最小正周期．解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x， 图象经过点，∴f＝m＋cos＝2，解得m＝1.(2)当m＝1时，f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，∴T＝＝π.2．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(2)...
