第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式12xxxbyayy（1）二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式xfbyayyxxx12（2）一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令xxy代入方程（1）得特征方程02ba（3）根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解(1)第一种情形：特征方程（3）有两个不同的实根21，通解为为任意常数212211,CCCCyxxx(2)第二种情形：特征方程（3）有两个相同的实根21，通解为为任意常数2121,CCxCCyxx(2)第三种情形：特征方程（3）有一对共轭复根i2,1，通解为为任意常数2121,sincosCCxCxCryxx其中0,0arctan,22rr例1求差分方程0612xxxyyy的通解。解特征方程062的根为2,321原方程的通解为为任意常数2121,,23CCCCyxxx例2求差分方程04412xxxyyy的通解。解特征方程0442的根为221原方程的通解为为任意常数2121,,2CCxCCyxx例3求差分方程0412xxyy的通解。解特征方程0412的根为i212,1原方程的通解为任意常数2121,,2sin2cos21CCxCxCyxx例4求差分方程016412xxxyyy的通解。解特征方程01642的根为i3222,1原方程的通解为任意常数2121,,3sin3cos4CCxCxCyxx二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解xfbyayyxxx12（2）由上节定理3知道，差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解（前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成。我们只学习后部分。二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法1.非齐次项xPxfn型（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设nnxxbxbxbby2210（2）1是特征方程的根，即1+a+b＝0且2+a≠0,设xxbxbxbbynnx2210（3）1是特征方程的重根，即1+a+b＝0且2+a＝0,设22210xxbxbxbbynnx例5求差分方程xyyyxxx4512的通解。解（1）对应齐次方程04512xxxyyy的特征方程0452特征方程的根为4,121，通解为为任意常数2121,,41CCCCYxxx（2）设非齐次方程的特解为baxyx代入方程求得1007,101ba，所以1007101xyx（3）非齐次方程的通解为为任意常数2121,,100710141CCxCCyxxx例6求差分方程xyyyxxx34312的通解。解（1）对应齐次方程04312xxxyyy的特征方程0432特征方程的根为4,121，通解为为任意常数2121,,4CCCCYxx（2）设非齐次方程的特解为bxaxxbaxyx2代入方程求得5021,103ba，所以xxyx50211032（3）非齐次方程的通解为为任意常数21221,,50211034CCxxCCyxx例7求差分方程8212xxxyyy的一个特解。解对应齐次方程0212xxxyyy的特征方程0122特征方程的根为121设非齐次方程的特解为2axyx代入方程求得4a，所以差分方程的一个特解为24xyx2.非齐次项xPxfnx型(μ≠0、1)xPbyayynxxxx12（2）’令xxxzy原方程化为xPbzzaznxxx122例8求差分方程123612xyyyxxxx的通解。解（1）对应的齐次方程0612xxxyyy的特征方程为062特征方程的根为3,221，通解为为任意常数2121,,32CCCCYxxx（2）令xxxzy3原方程化为1263912xzzzxxx对应的齐次方程063912xxxzzz的特征方程为06392特征方程的根为32,121设非齐次方程的特解为bxaxxbaxzx2代入方程求得252,151ba，求特解为xxzx2521512所以得原方程的特解为xxyxx25215132（3）原方程的通解为为任意常数21221,,252151332CCxxCCyxxxx三、小结1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通
