二项式定理一、考试要求1.正确理解二项式定理,能准确地写出二项式的展开式2.会区分项的系数与项的二项式系数3.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用4.熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用二.建构知识网络1.二项式定理:01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN,rrnrnrbaCT1)210(nr,,,叫展开式的通项,是第r+1项.特例:1(1)1nrrnnnxCxCxx2.二项式系数的性质:()nab展开式的二项式系数是0nC,1nC,2nC,⋯,nnC,注意和系数的区别.(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(mnmnnCC).直线2nr是图象的对称轴.(2)增减性与最大值:当n是偶数时,中间一项2nnC取得最大值;当n是奇数时,中间两项12nnC,12nnC取得最大值。(3)各二项式系数和:由1(1)1nrrnnnxCxCxx,令1x,得0122nrnnnnnnCCCCC令x=-1,得024135nnnnnnCCCCCC3.二项式定理应用:(1)求常数项、有理项和系数最大等特定的项;(2)求和,证整除性;(3)近似计算,(1+a)n≈1+na,(当|a|非常小时);(4)二项式定理给出了一种计算方法,要注意在其它数学问题,如函数、数列、不等式中的应用。三、双基题目练练手1.(2006重庆)若13nxx的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为()A.-540B.-162C.162D.5402已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a9|等于()A.29B.49C.39D.13.(2006山东)已知2()nixx的展开式中第三项与第五项的系数之比为314,其中21i,则展开式中常数项是()A.45iB.45iC.45D.454.(2006浙江)若多项式21021001910(1)(1)(1)xxaaxaxax,则a9等于()(A)9(B)10(C)-9(D)-105.(2005辽宁)1122(2)nxx的展开式中常数项是.6.(2005湖北)5)212(xx的展开式中整理后的常数项为.7.在2006(2)x的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当2x时,S等于______;8.(2005湖南)在(1+x)+(1+x)2+⋯⋯+(1+x)6的展开式中,x2项的系数是.(用数字作答)9..10.设(2+x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10,则(a0+a2+a4+⋯+a10)2-(a1+a3+a5+⋯+a9)2的值为.四、经典例题做一做【例1】求式子(|x|+||1x-2)3的展开式中的常数项【例2】求100323x展开所得x的多项式中,系数为有理数的项数【例3】求72yx展开式中系数最大的项【例4】(2005天津)设Nn,则12321666nnnnnnCCCC?五.同步练习1.(2006湖北)在2431xx的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项2.(2005重庆)若)12(xxn展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为-5,则n等于()A.4B.6C.8D.103.(2005江苏)设k=1,2,3,4,5,则5)2(x的展开式中kx的系数不可能是()A.10B.40C.50D.804.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20个灯泡,只要有一只灯泡坏了,整串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为()A.20B.219C.220D.220-15.(2006北京)在72()xx的展开式中,2x的系数是__________(用数字作答).6.(2005山东)如果3213nxx的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x的系数是________7.(2005浙江)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是_____8.(2005广东)已知5)1cos(x的展开式中2x的系数与4)45(x的展开式中x3的系数相等,则cos=.10.如果在(x+421x)n的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.