第4课时直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系一、填空题1．(·江苏省东台中学高三数学诊断性试卷)函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调减区间为________．答案：，2．(江苏省高考名校联考信息优化卷)过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________________．解析： 圆x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝22，∴圆心坐标为(1,0)，又因为直线过圆心时，被圆截得的弦最长，∴所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝03．(江苏省高考名校信息优化卷)如果圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三点到直线ax＋by＝0的距离为2，那么直线ax＋by＝0斜率的取值范围为________．解析：由题知圆心的坐标为(2,2)且圆上至少有三点到直线ax＋by＝0的距离为2，则有≤⇒a2＋b2＋4ab≤0⇒－2－≤≤－2＋，即2－≤－≤2＋.答案：[2－，2＋]4．(南通市高三调研)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．答案：25．(江苏省启东中学高三质量检测)圆x2＋y2－4x－2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值是________．解析：圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝5－c，圆的半径为，因为圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，∠APB＝90°，所以＝2，解得c＝－3.答案：－36．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知m、n、s、t∈(0，＋∞)，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点A(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为________________．解析：因为(s＋t)＝m＋n＋＋≥m＋n＋2，所以m＋n＋2＝4，从而mn＝1，得m＝n＝1，得点A(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所以所求弦的斜率为－1，从而弦所在的直线方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝07．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知圆x2＋y2＝R2与直线y＝2x＋m相交于A、B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为α，OB为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________．解析：如上图，过O作OM⊥AB于M，则∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝(β－α)，∴∠xOM＝α＋∠AOM＝，∴tan＝kOM＝－＝－，∴tan(α＋β)＝＝－.答案：－二、解答题8．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．解：解法一：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，则，解得m＝3，n＝1，r＝，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.解法二：因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0过点M(1,2)的切线方程为2x－y＝0，所以设所求圆A的方程为x2＋y2＋2x－6y＋5＋λ(2x－y)＝0，因为点P(4，－1)在圆上，所以代入圆A的方程，解得λ＝－4，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.9．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：AM·AN为定值；（3）若O为坐标原点，且OM·ON＝12，求k的值．解：(1)解法一： 直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1.将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得
