人教A版高中数学必修五3习题课学案VIP免费

正、余弦定理习题课-----学案一、学习目标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.二、自主学习1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinbsinAaba≤b解的个数一解两解一解一解无解三、合作探究考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.解析(1) bsinA＝6×22＝3，∴bsinA0，∴sinA＝1，即A＝π2.答案B规律方法(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积有关的问题【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.由C∈(0，π)知sinC≠0，可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12absinC＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.四、学以致用【训练1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝()A.1B.2C.4D.6解析(1)a2＝c2＋b2－2cbcosA?13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).答案C【训练2】将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又 a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三...