高三数学一轮复习 第4单元 4.5 简单的三角恒等变换随堂训练 理 新人教B版VIP免费

4.5简单的三角恒等变换一、选择题1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于()A．－3B．－C．3D.解析：tan(α－β)＝＝＝＝.答案：D2．下列各式中，值为的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°解析：cos215°－sin215°＝cos30°.答案：B3．等式|sinαcosα|＋|sin2α－cos2α|＝成立的充要条件是()A．α＝kπ(k∈Z)B．α＝(k∈Z)C．α＝(k∈Z)D．α＝(k∈Z)解析：由题意知：原式＝|sin2α|＋|cos2α|＝∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1，|sin4α|＝0，α＝(k∈Z)．答案：C4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于()A．－B.C．－D.解析：原式＝sin163°·sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝.答案：B二、填空题5．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝②由①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tanαtanβ＝＝.答案：6．求值：cos4＋cos4＋cos4＋cos4＝________.解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.答案：7．函数y＝|sinx|cosx－1的最小正周期与最大值的和为________．解析：y＝|sinx|cosx－1＝其图象如图所示：函数最小正周期T＝2π，最大值ymax＝－，故最小正周期与最大值之和为2π－.答案：2π－三、解答题8．用tanα表示sin2α，cos2α.解答：sin2α＝2sinαcosα＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝.9．已知＝，求sin2的值．解答：＝＝sin2x＝，sin2＝＝＝＝.10．已知cos＝，≤α<，求cos的值．解答：cos＝cos2αcos－sin2αsin＝(cos2α－sin2α)，∵≤α<π，∴≤α＋<π.又cos＝>0，故可知π<α＋<π，∴sin＝－，从而cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－.sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.∴cos＝(cos2α－sin2α)＝×＝－.1．已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈.若AC·BC＝－1，求的值．解答：AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，由AC·BC＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝，2sinα·cosα＝－，又＝＝2sinαcosα＝－，故所求的值为－.2．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA＝，(1)求tan2＋sin2的值；(2)若a＝2，S△ABC＝，求b的值．解答：(1)因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝，所以cosA＝.则tan2＋sin2＝＋sin2＝＋(1－cosA)＝＋＝.(2)因为S△ABC＝，又S△ABC＝bcsinA＝bc·＝，则bc＝3.将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，得b4－6b2＋9＝0，解得b＝.