第三讲解答题的解法1．(·陕西理)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下表：ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.∴ξ的概率分布为ξ0123P0.10.30.40.2∴Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A“表示两个月内共被投诉2次；事件A1“表示两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0”次；事件A2“表示两个月均被投诉1”次．则由事件的独立性得P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17.2．已知向量a＝(4cosB，cos2B－2cosB)，b＝，f(B)＝a·b.(1)若f(B)＝2，且0
2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(B)＝a·b＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB＝2cosB＋cos2B－2cosB＝－2cosB·cos＋cos2B＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin f(B)＝2∴2sin＝2即sin＝1 B∈(0，π)∴2B＋∈∴2B＋＝∴B＝.(2)由(1)知f(B)＝2sin(2B＋)，又02恒成立，∴m0，g(x)＝－(a2－a＋1)ex＋2，问是否存在ξ1，ξ2∈[－2，2]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|≤1成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex由f′(0)＝0，得b＝－a∴f(x)＝(x2＋ax－a)exf′(x)＝[x2＋(a＋2)x]ex＝x(x＋a＋2)ex令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a－2由于x＝0是f(x)极值点，故x1≠x2，即a≠－2当a<－2时，x1－2时，x1>x2，故f(x)的单调增区间是(∞－，－a－2]和[0∞，＋)，单调减区间是(－a－2,0)．(2)当a>0时，－a－2<－2，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，因此f(x)在[－2,2]上的值域为[f(0)，max{f(－2)，f(2)}]＝[－a，(4＋a)e2]而g(x)＝－(a2－a＋1)ex＋2＝－ex＋2在[－2,2]上单调递减，所以值域是[－(a2－a＋1)e4，－(a2－a＋1)]因为在[－2,2]上，f(x)min－g(x)max＝－a＋(a2－a＋1)＝(a－1)2≥0所以，a只须满足解得0
